“Teorema de Tales: Questões e Aplicações para o 9º Ano”
Tema: teorema de tales
Etapa/Série: 9º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática: Teorema de Tales
Aluno(a): _____________________________________
Data: _____/_____/_____
Turma: __________
Instruções: Responda às questões a seguir de forma clara e organizada. As respostas devem ser dissertativas, mostrando o raciocínio utilizado para chegar à conclusão. Utilize exemplos práticos sempre que possível.
Questões:
1. Explique o Teorema de Tales.
Em sua resposta, mencione as condições necessárias para a aplicação do teorema e forneça um exemplo prático que ilustre sua utilização.
2. Considere dois triângulos semelhantes.
Explique como essa semelhança se relaciona com o Teorema de Tales, e mencione o que podemos inferir sobre as razões entre os lados correspondentes e os ângulos.
3. Enunciado do Teorema de Tales em um Triângulo Retângulo.
Um triângulo ABC é retângulo em A. Uma linha paralela a BC corta AB em D e AC em E. Demonstre, usando o Teorema de Tales, que a razão entre AD e DB é igual à razão entre AE e EC.
4. Cálculo Prático.
Um triângulo ABC possui a seguinte medida: AB = 6 cm e AC = 4 cm. Se uma linha paralela a BC corta o lado AC em D e o lado AB em E, e AD = 1,5 cm, calcule o comprimento de DB e justifique seu raciocínio utilizando o Teorema de Tales.
5. Hipótese da Semelhança.
Descreva como o Teorema de Tales pode ser usado para determinar a altura de um objeto, como uma árvore, a partir de um triângulo formado em um plano inclinado (como um terreno). Inclua os passos necessários para a aplicação do teorema.
6. Análise Crítica.
Quais são as limitações do Teorema de Tales na resolução de problemas práticos em geometria? Discuta pelo menos duas situações em que o teorema pode não se aplicar e justifique sua resposta com exemplos.
7. Comparação com Outros Teoremas.
Compare o Teorema de Tales com o Teorema de Pitágoras. Cite as semelhanças e diferenças entre eles e explique em que situações cada um é mais apropriado.
8. Aplicação em Construções.
Imagine que você está ajudando a construir um projeto de paisagismo que inclui a construção de um caminho retangular. Como o Teorema de Tales poderia ajudá-lo a garantir que os ângulos do caminho sejam retos? Explique o procedimento.
9. Exemplificação em Edificações.
Ao medir a altura de um edifício utilizando o Teorema de Tales, você posiciona uma régua em um ângulo de 45 graus a partir de um ponto a uma certa distância do edifício. Qual relação de semelhança você pode estabelecer e como isso ajuda a calcular a altura do edifício?
10. Teoria e Prática.
O Teorema de Tales é frequentemente utilizado em diversas áreas como engenharia e arquitetura. Pesquise um exemplo da aplicação do teorema em um projeto real e discorra sobre a importância deste teorema na execução do referido projeto.
Gabarito Detalhado:
1. Resposta esperada: O Teorema de Tales estabelece que, se um conjunto de segmentos é cortado por duas ou mais retas paralelas, a razão entre os segmentos formados é constante. Um exemplo prático seria utilizar o teorema para medir distâncias inacessíveis através de triangulações.
2. Resposta esperada: A semelhança dos triângulos implica que os ângulos correspondem e que as razões entre os lados correspondentes são constantes. Isso permite aplicar o Teorema de Tales para resolver problemas sobre dimensões e distâncias.
3. Resposta esperada: Seguindo o Teorema de Tales, com DE || BC, temos AD/DB = AE/EC. Justifique o uso da proporcionalidade baseada nas seções paralelas traçadas.
4. Resposta esperada: Usando o Teorema de Tales (AD/DB = AC/AB), onde AC = 4 cm e AB=6 cm, encontramos DB. Portanto, 1,5 / DB = 4/6. Resolvendo isso, DB = 2,25 cm.
5. Resposta esperada: Pode-se usar a relação de similaridade entre os triângulos formados pelo objeto e as sombras projetadas para calcular a altura.
6. Resposta esperada: As limitações incluem situações em que as linhas não são perfeitamente paralelas ou quando não temos um triângulo não retângulo, e exemplos práticos de medições incorretas.
7. Resposta esperada: O Teorema de Tales se refere a segmentos e relações de semelhança, enquanto o Teorema de Pitágoras lida com triângulos retângulos. Ambos são utilizados, mas em diferentes contextos.
8. Resposta esperada: Medindo as proporções e ângulos, podemos aplicar o Teorema de Tales para garantir que as laterais do caminho sejam retas, fazendo medições em pontos diferentes.
9. Resposta esperada: Utilizando triângulos isósceles, a proporção estabelecida entre as distâncias pode fornecer a altura. Por exemplo, se o ângulo é 45 graus, a altura é igual à distância horizontal.
10. Resposta esperada: Exemplos da arquitetura, como o uso de estruturas de suporte para garantir simetria e proporções corretas no design de prédios, demonstram a importância prática do teorema.
Essas respostas devem ser acompanhadas pelas etapas de raciocínio que levaram a cada conclusão.
