“Prova de Matemática: Trigonometria e Equações para o 1º Ano”

Prova de Matemática – 1º Ano do Ensino Médio

Tema: Coseno, Seno, Tangente, Equações do 1º e 2º Grau, Descoberta de Ângulo pelo Relógio

×

Tempo: 20 minutos

Questões Dissertativas

Questão 1: Defina as funções seno, cosseno e tangente, e explique a relação entre elas no triângulo retângulo. Dê um exemplo numérico com um ângulo específico.

Questão 2: Após desenhar um triângulo retângulo, explique como se utilizam as razões trigonométricas para encontrar a medida de um ângulo. Utilize um exemplo prático com valores determinados.

Questão 3: Resolva a equação 2x – 5 = 7 e explique cada passo da sua resolução.

Questão 4: Considerando a equação quadrática x² – 4x + 4 = 0, resolva essa equação e descreva o processo ao detalhar a utilização da fórmula de Bhaskara.

Questão 5: Um relógio marca 3 horas e 15 minutos. Determine o ângulo entre os ponteiros do relógio nesse horário. Explique o raciocínio utilizado para chegar ao resultado.

Questão 6: Explique o que é a fórmula de Bhaskara e como ela pode ser aplicada na solução de equações do 2º grau. Faça um exemplo com a equação x² + 3x – 4 = 0.

Questão 7: Sabendo que no triângulo retângulo temos os lados com medidas de 5 e 12, calcule a hipotenusa e depois determine os valores das funções seno, cosseno e tangente do ângulo oposto ao lado de comprimento 5.

Questão 8: Uma equação do 1º grau é representada graficamente como uma reta. Explique como é feita a interpretação do coeficiente angular e o coeficiente linear da função. Dê um exemplo prático com os dados necessários para a representação gráfica.

Questão 9: Qual é a relação entre as funções trigonométricas e as coordenadas no sistema cartesiano? Explique como se dá essa relação em um círculo unitário.

Questão 10: Considere um problema onde a tangente de um ângulo é igual a 3/4. Determine o seno e o cosseno desse ângulo e explique o processo que você utilizou para encontrar as respostas.

Gabarito Detalhado

Questão 1: O seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tan) são definidos a partir de um triângulo retângulo onde:

• sen(θ) = cateto oposto / hipotenusa
• cos(θ) = cateto adjacente / hipotenusa
• tan(θ) = cateto oposto / cateto adjacente

Exemplo: Para um triângulo retângulo com ângulo θ = 30°, sen(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = 1/√3.

Questão 2: Para calcular um ângulo em um triângulo, usa-se, por exemplo, sen(θ) = cateto oposto / hipotenusa. Se o cateto oposto = 4 e a hipotenusa = 5, então sen(θ) = 4/5 e θ = arcsin(4/5).

Questão 3: A resolução da equação 2x – 5 = 7 é feita somando 5 em ambos os lados (2x = 12) e dividindo por 2 (x = 6).

Questão 4: A equação x² – 4x + 4 = 0 pode ser fatorada (x – 2)² = 0, então x = 2. Utilizando Bhaskara: x = [4 ± √(16 – 16)]/2 = 2.

Questão 5: No relógio, cada hora representa 30° e cada minuto 6°. O horário 3h15min tem o ponteiro das horas em 97,5° (100°) e o das minutos em 90°. O ângulo entre eles é 7,5°.

Questão 6: A fórmula de Bhaskara (x = [-b ± √(b² – 4ac)]/2a) é usada para resolver x² + 3x – 4. Aplicando: x = [-3 ± √(9 + 16)]/2 = 1 e -4.

Questão 7: A hipotenusa (h) é 13 (5² + 12² = 169). Seno = 5/13, Cosseno = 12/13, Tangente = 5/12 do ângulo entre o lado 5.

Questão 8: O coeficiente angular indica a inclinação da reta e o coeficiente linear a interseção com o eixo y. Exemplo: y = 2x + 3; a reta passa por (0,3) e tem inclinação 2.

Questão 9: As funções trigonométricas estão ligadas a (x,y) no círculo unitário. No círculo, cos(θ) = x e sen(θ) = y para um ângulo θ.

Questão 10: Se tan(θ) = 3/4, então sen(θ) = 3/5 e cos(θ) = 4/5. Usamos a conversão de tan para sen e cos com o triângulo retângulo formado.