Prova de Matemática: Progressões Aritmética e Geométrica 1º Ano

Tema: progressão aritmética e geometrica
Etapa/Série: 1º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 5

Prova de Matemática – 1º Ano do Ensino Médio

Tema: Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

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Instruções: Responda todas as questões a seguir. Leia atentamente cada enunciado e justifique suas respostas quando solicitado. Boa sorte!

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Questão 1 – Múltipla escolha

Em uma progressão aritmética (PA), o primeiro termo é 5 e a razão é 3. Qual é o 5º termo dessa PA?

a) 20

b) 19

c) 18

d) 17

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Questão 2 – Verdadeiro ou Falso

Analisando a sequência a seguir: 4, 8, 16, 32, … Assinale V para verdadeiro e F para falso:

a) A sequência apresentada é uma progressão aritmética.

b) O próximo termo desta sequência é 64.

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Questão 3 – Completar

Uma progressão geométrica (PG) possui o primeiro termo igual a 2 e a razão igual a 5. O terceiro termo pode ser calculado da seguinte forma:

O terceiro termo é igual a ___________.

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Questão 4 – Dissertativa

Maria está economizando para uma viagem. Ela decide que todo mês irá poupar R$ 200,00 a mais do que o mês anterior. Sabendo que no primeiro mês ela poupou R$ 300,00, explique como calcular o total que ela terá poupado ao final de 6 meses. Em sua resposta, determine a quantidade total que Maria terá economizado.

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Questão 5 – Análise Crítica

Considere a seguinte situação prática: um investidor aplica R$ 1.000,00 em um fundo que rende 5% ao mês. Este rendimento se caracteriza como uma progressão geométrica. Discuta como o montante final varia, se esse investimento for mantido por 12 meses, e explique por que a progressão geométrica é uma ferramenta importante para situações financeiras.

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Gabarito Detalhado

Questão 1

Resposta correta: b) 19

Justificativa: A fórmula do enésimo termo de uma PA é dada por:

a_n = a₁ + (n-1) * r

Onde a₁ = 5, r = 3 e n = 5. Portanto:

a₅ = 5 + (5-1) * 3 = 5 + 12 = 17. A quantidade correta é, portanto, 19.

Questão 2

Respostas: a) F, b) V

Justificativa: A sequência dada é uma PG (com razão 2), já que cada termo é o dobro do anterior. O próximo termo é realmente 64.

Questão 3

Resposta correta: 50

Justificativa: O terceiro termo de uma PG é dado por:

a₃ = a₁ * r^n-1

Onde a₁ = 2 e r = 5:

a₃ = 2 * 5^3-1 = 2 * 25 = 50.

Questão 4

Resposta: Após 6 meses, Maria terá poupado R$ 2.700,00.

Justificativa: A sequência das economias é uma PA com a₁ = 300 e r = 200. Assim:

Total = 6 * (300 + 1.000) / 2 = 6 * 650 / 2 = R$ 3.900,00.

Questão 5

Resposta: Após 12 meses, o montante final pode ser expresso como uma PG onde o primeiro termo é R$ 1.000,00 e a razão é 1,05. O montante final é significativo, pois indica o crescimento exponencial de um investimento devido ao efeito dos juros compostos, um conceito fundamental na matemática financeira.

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Comentários Finais: As questões abordam a compreensão e aplicação das PAs e PGs em diferentes contextos, proporcionando um aprendizado significativo e relevante para os alunos do 1º ano do Ensino Médio.