“Prova de Matemática: Razões Trigonométricas e Triângulos no ENEM”
Tema: Razões trigonométricas no triangulo retangulo, Lei dos seno e dos cossenos, Bissetrizes, mediatrizes, medianas e altura, Area do triangulo
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 5
Prova de Matemática – 3º Ano do Ensino Médio
Tema: Razões Trigonométricas, Lei dos Senos e Cossenos, Bissetrizes, Mediatrizes, Medianas, Altura e Área do Triângulo
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Questão 1
Contexto: Um triângulo retângulo possui um ângulo de 30°. A hipotenusa desse triângulo mede 10 cm.
Questão: Calcule a medida dos catetos desse triângulo retângulo utilizando as razões trigonométricas (seno e cosseno). Justifique cada etapa do seu cálculo.
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Questão 2
Contexto: Em um triângulo ABC, temos que a = 8 cm, b = 6 cm e A = 45°.
Questão: Aplique a Lei dos Senos para encontrar a medida do lado c e o ângulo B, explicando como você chegou aos resultados.
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Questão 3
Contexto: Considere um triângulo XYZ, onde as bissetrizes dos ângulos foram traçadas e suas interseções formaram o ponto I, conhecido como incentro.
Questão: Explique como a bissetriz de um ângulo divide o triângulo em duas partes, e descreva como calcular a distância do incentro aos lados do triângulo, relacionando isso à área do triângulo.
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Questão 4
Contexto: Um triângulo possui os lados medindo 7 cm, 8 cm e 5 cm.
Questão: Utilize a Lei dos Cossenos para determinar o valor de um dos ângulos do triângulo e, em seguida, calcule a área deste triângulo usando a fórmula de Heron. Justifique suas etapas.
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Questão 5
Contexto: Um triângulo equilátero tem lado medindo 12 cm.
Questão: Calcule a altura e a área desse triângulo. Compare os resultados obtidos com a área utilizando a base e a altura e a área da forma clássica, e discuta a relação entre altura e mediatriz nesse caso.
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Gabarito
Questão 1
– Respostas:
– Cateto oposto (a) = 10 * seno(30°) = 10 * 0,5 = 5 cm.
– Cateto adjacente (b) = 10 * coseno(30°) = 10 * √3/2 ≈ 8,66 cm.
– Justificativa: As razões trigonométricas foram utilizadas para determinar as medidas dos catetos de um triângulo retângulo, baseando-se nas definições de seno e cosseno em relação ao ângulo de 30°.
Questão 2
– Respostas:
– Aplicando a Lei dos Senos: ( frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} )
– Para calcular c: Primeiro, encontramos B como ( sin B = frac{b cdot sin A}{a} = frac{6 cdot sin(45°)}{8} ).
– Cálculo do lado c igualando para achar o valor.
– Justificativa: A Lei dos Senos é essencial para resolver triângulos não retângulos, permitindo encontrar lados e ângulos desconhecidos.
Questão 3
– Respostas:
– A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais.
– A distância do incentro a um lado do triângulo pode ser encontrada usando a fórmula da área ( A = frac{b cdot h}{2} ), onde h é a distância do incentro até a base.
– Justificativa: A relação entre incentro e área evidencia a importância das bissetrizes na geometria dos triângulos.
Questão 4
– Respostas:
– Utilizando a Lei dos Cossenos para encontrar um dos ângulos, por exemplo, ( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cdot cos(C) ).
– Aplicando a fórmula de Heron para a área: ( A = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ), onde s é o semiperímetro.
– Justificativa: A Lei dos Cossenos fornece uma maneira prática de determinar ângulos, enquanto a fórmula de Heron é uma forma eficiente de calcular áreas de triângulos.
Questão 5
– Respostas:
– A altura ( h = frac{sqrt{3}}{2} cdot 12 = 6sqrt{3} ).
– A área ( A = frac{b * h}{2} = frac{12 * 6sqrt{3}}{2} = 36sqrt{3} ).
– Comparação da área com a fórmula clássica e observação da mediatriz.
– Justificativa: O cálculo destaca a importância da simetria nos triângulos equiláteros e como a altura e a mediatriz se relacionam com as características das figuras geométricas.
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A prova foi elaborada de acordo com as diretrizes da BNCC, promovendo o raciocínio crítico e a aplicação de conceitos matemáticos de forma contextualizada e prática, essenciais para o aprendizado no Ensino Médio.
