“Prova de Matemática: Determinante e Matriz para 3º Ano”
Tema: DETERMINANTE E MATRIZ
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 6
Prova de Matemática – 3º Ano do Ensino Médio
Tema: Determinante e Matriz
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Questão 1
Um sistema de equações lineares pode ser representado por uma matriz. Considere o sistema de equações abaixo:
[
begin{cases}
2x + 3y = 5 \
4x + 6y = 10
end{cases}
]
Qual é a matriz associada a esse sistema?
A) (begin{pmatrix} 2 & 3 \ 4 & 6 end{pmatrix})
B) (begin{pmatrix} 2 & 4 \ 3 & 6 end{pmatrix})
C) (begin{pmatrix} 2 & 4 \ 10 & 6 end{pmatrix})
D) (begin{pmatrix} 5 & 3 \ 10 & 6 end{pmatrix})
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Questão 2
O determinante de uma matriz (2 times 2) é dado pela fórmula (det(A) = ad – bc), onde a matriz (A) é (begin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}). Qual é o determinante da matriz a seguir?
[
A = begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 5 end{pmatrix}
]
A) 23
B) 35
C) 31
D) 10
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Questão 3
Considere a matriz (B = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 4 & 5 \ 1 & 0 & 6 end{pmatrix}). Qual é o valor do determinante da matriz (B)?
A) -6
B) 24
C) 12
D) 18
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Questão 4
Para que uma matriz quadrada tenha um determinante igual a zero, é necessário que suas linhas sejam linearmente dependentes. Qual das opções a seguir representa uma condição que garante que a matriz (C = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 end{pmatrix}) tenha determinante 0?
A) As linhas da matriz são iguais.
B) As colunas da matriz são linearmente independentes.
C) As linhas da matriz são múltiplos uma da outra.
D) A matriz é invertível.
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Questão 5
Qual das seguintes afirmações é verdadeira em relação ao determinante de uma matriz (2 times 2)?
A) O determinante é sempre positivo.
B) O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
C) Um determinante igual a zero indica que a matriz não é invertível.
D) O determinante de uma matriz (A) é igual ao determinante de sua transposta.
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Questão 6
Uma matriz (D) de ordem (3 times 3) tem determinante igual a -5. Se multiplicarmos todos os elementos da matriz (D) por -2, qual será o novo determinante da matriz resultante?
A) 10
B) -20
C) -40
D) 40
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Gabarito
Questão 1:
Resposta: A) (begin{pmatrix} 2 & 3 \ 4 & 6 end{pmatrix})
*Justificativa:* A matriz associada a um sistema de equações lineares é formada pelos coeficientes das variáveis (x) e (y).
Questão 2:
Resposta: C) 31
*Justificativa:* O determinante é calculado como (7*5 – 2*3 = 35 – 6 = 29).
Questão 3:
Resposta: B) 12
*Justificativa:* O determinante pode ser calculado usando a regra Sarrus ou a fórmula (det(B) = 1*(4*6 – 0*5) – 2*(0*6 – 1*5) + 3*(0*0 – 1*4) = 24 – 10 – 12 = 12).
Questão 4:
Resposta: C) As linhas da matriz são múltiplos uma da outra.
*Justificativa:* Duas linhas que são múltiplos uma da outra indicam que há dependência linear, resultando em determinante igual a 0.
Questão 5:
Resposta: C) Um determinante igual a zero indica que a matriz não é invertível.
*Justificativa:* Essa é a definição de matrizes não invertíveis – elas não têm determinante distinto de zero.
Questão 6:
Resposta: C) -40
*Justificativa:* Se multiplicamos todos os elementos de uma matriz (3 times 3) por uma constante (k), o determinante resultante é (k^n) vezes o determinante original, onde (n) é a ordem da matriz. Portanto, ((-2)^3 * (-5) = -40).
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