“Prova de Matemática: Derivadas para o 3º Ano do Ensino Médio”

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Tema: derivadas
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 10

Prova de Matemática – Tema: Derivadas

3º Ano – Ensino Médio

Planejamentos de Aula BNCC Infantil e Fundamental

Esta prova tem como objetivo avaliar o entendimento dos alunos sobre o tema “Derivadas”. As questões variam em complexidade, abrangendo desde conceitos básicos até aplicações práticas e raciocínio crítico. Lembre-se de justificar suas respostas de forma clara e objetiva.

Questões Dissertativas

  1. Definição de Derivada: Explique o que é a derivada de uma função em um ponto e como ela pode ser interpretada graficamente.

  2. Regra do Produto: Calcule a derivada da função f(x) = x^3 * cos(x), utilizando a regra do produto. Mostre todos os passos do cálculo.

  3. Interpretação Física: A posição de um objeto em movimento é dada pela função s(t) = t^4 – 16t^2 + 5, onde s é a posição em metros e t é o tempo em segundos. Determine a velocidade do objeto no instante t = 2 segundos e explique o significado físico desse valor.

  4. Máximos e Mínimos: Determine os pontos de máximo e mínimo da função f(x) = x^3 – 3x^2 + 4. Utilize a primeira derivada para justificar sua resposta.

  5. Taxa de Variação: Uma empresa observa que o lucro L(x), em milhares de reais, é dado pela função L(x) = -2x^2 + 12x + 30, onde x é a quantidade de itens vendidos. Determine a taxa de variação do lucro quando 3 itens são vendidos.

  6. Derivada de Funções Trigonométricas: Calcule a derivada da função f(x) = sin(2x) e explique a interpretação deste resultado em termos de taxa de variação.

  7. Aplicação de Derivadas na Economia: Um produto tem seu preço representado pela função P(x) = 50 – 2x, onde x é a quantidade vendida. Determine a elasticidade da demanda quando x = 10 e discorra sobre a importância desse cálculo.

  8. Derivadas e Crescimento Populacional: A função que modela o crescimento populacional de uma cidade é dada por P(t) = 500e^{0.03t}, onde t é o número de anos desde 2020. Calcule a taxa de crescimento populacional em 5 anos e discorra sobre a implicação desse resultado.

  9. Composição de Funções: Se g(t) = t^2 e f(x) = 3x + 5, determine a derivada da composição f(g(t)) e explique como a regra da cadeia é aplicada neste caso.

  10. Aproximação Linear: Utilize a derivada para encontrar a aproximação linear da função f(x) = x^2 em x = 3 e explique o que essa aproximação representa em termos práticos.

Gabarito

  1. Definição de Derivada: A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função em relação à variável independente, à medida que essa taxa se aproxima do ponto considerado. Graficamente, a derivada em um ponto é a inclinação da tangente à curva nesse ponto.

  2. Regra do Produto:

    f'(x) = u’v + uv’, onde u = x^3 e v = cos(x).

    – Derivadas: u’ = 3x^2 e v’ = -sin(x).

    – Resultado: f'(x) = (3x^2)(cos(x)) + (x^3)(-sin(x)).

  3. Interpretação Física:

    – Derivada: s'(t) = 4t^3 – 32t.

    – Velocidade em t = 2: s'(2) = 4(2)^3 – 32(2) = 32 – 64 = -32 m/s.

    – O valor negativo indica que o objeto está se movendo para trás com 32 metros por segundo.

  4. Máximos e Mínimos:

    – Derivada: f'(x) = 3x^2 – 6x, igualando a zero: 3x(x – 2) = 0, soluções x = 0 e x = 2.

    – Teste do sinal: intervalo (-∞, 0) crescente, (0, 2) decrescente, (2, ∞) crescente.

    – Máximo em x = 0 e mínimo em x = 2.

  5. Taxa de Variação:

    – L'(x) = -4x + 12, para x = 3: L'(3) = -4(3) + 12 = 0.

    – Taxa de variação do lucro é nula, o que indica que a empresa está em um ponto de máximo de lucro.

  6. Derivada de Funções Trigonométricas:

    – f'(x) = 2cos(2x).

    – A derivada indica que a taxa de variação da função seno em relação a x é proporcional ao valor do coseno, multiplicada por 2, que representa a rapidez do oscilamento da função.

  7. Aplicação de Derivadas na Economia:

    – P'(x) = -2, a elasticidade demandada quando x = 10: P(10) = 50 – 20 = 30, então, Elasticidade = P'(x) * (x/P(x)) = -2 * (10/30) = -0.67.

    – Um valor absoluto menor que 1 indica que a demanda é inelástica.

  8. Derivadas e Crescimento Populacional:

    – P'(t) = 500 * 0.03e^{0.03t}; em t = 5: P'(5) = 500 * 0.03e^{0.15} ≈ 16.26.

    – Isso implica que a população está crescendo a uma taxa de aproximadamente 16 pessoas por ano, após 5 anos.

  9. Composição de Funções:

    – f(g(t)) = 3(t^2) + 5 → aplicando a regra da cadeia: d/dt[f(g(t))]=f'(g(t)) * g'(t) = 3 * g'(t); g'(t)=2t.

    – Resultado final: 6t.

  10. Aproximação Linear:

    – A derivada em x = 3: f'(x) = 2x, logo f'(3) = 6.

    – A aproximação linear à função em x = 3: y – f(3) = 6(x – 3).

    – Essa linearização é útil para estim


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