“Esboço do Gráfico da Função Exponencial: Prova de Matemática”

Tema: Esboço do gráfico da função exponencial
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 3

Prova de Matemática – 3º Ano do Ensino Médio

Tema: Esboço do Gráfico da Função Exponencial

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Instruções: Responda as questões dissertativas a seguir, utilizando os conhecimentos adquiridos sobre a função exponencial e seu gráfico. Justifique suas respostas de forma clara e coerente. Cada questão vale até 10 pontos.

Questão 1

Contexto: A função exponencial é amplamente utilizada para modelar fenômenos naturais e sociais, como o crescimento populacional e a renda de investimentos ao longo do tempo.

Considerando a função f(x) = 2^x, explique como é possível esboçar o gráfico dessa função. Quais são as características principais que devem ser observadas? Inclua informações sobre o comportamento assintótico, interceptações com os eixos e o crescimento da função.

Questão 2

Contexto: Suponha que uma bactéria se reproduza de acordo com a função g(t) = 5e^(0,3t), onde g representa a quantidade de bactérias e t é o tempo em horas.

Determine e descreva, passo a passo, como esboçar o gráfico dessa função. Considerando t = 0 e t = 10, calcule os valores correspondentes e comente sobre a taxa de crescimento exponencial que essa função representa, além das características que se destacam no gráfico.

Questão 3

Contexto: A função h(x) = a * b^x, onde a e b são constantes, é uma forma geral da função exponencial.

Discuta a influência dos parâmetros a e b no esboço do gráfico da função h(x). Diferencie os casos em que b > 1, 0 < b < 1 e b = 1. Em sua resposta, aborde como esses fatores afetam a posição do gráfico em relação ao eixo x e a taxa de crescimento ou decrescimento da função.

Gabarito

Questão 1

A resposta deve abordar os seguintes pontos:

• Interceptação com o eixo y: Quando x = 0, f(0) = 2^0 = 1, então o gráfico intercepta o eixo y em (0, 1).
• Comportamento assintótico: O gráfico se aproxima do eixo x, mas nunca o toca; conforme x tende a -∞, f(x) tende a 0. Isso indica que a função nunca assume valores negativos.
• Crescimento rápido: À medida que x aumenta, a função cresce rapidamente, passando de valores próximos a 0 para valores muito altos.

Questão 2

A resposta deve incluir:

• Cálculo dos valores: g(0) = 5e^(0) = 5 e g(10) = 5e^(3) ≈ 5 * 20.0855 ≈ 100.4275, mostrando que existe uma grande variação no número de bactérias.
• Características do gráfico: O gráfico começa em (0, 5) e cresce rapidamente para a direita, mostrando a natureza exponencial do crescimento.
• Taxa de crescimento: A taxa de crescimento é contínua e crescente, sendo acentuada, o que evidencia como a função representa um crescimento acelerado ao longo do tempo.

Questão 3

A resposta deve destacar:

• Quando b > 1: O gráfico cresce exponencialmente e se mantém acima do eixo x.
• Quando 0 < b < 1: O gráfico decresce exponencialmente e fica abaixo do eixo y.
• Quando b = 1: O gráfico é uma linha reta horizontal, pois a função se torna constante (h(x) = a).

Esses efeitos demonstram como a função exponencial pode modelar diversos fenômenos dependendo da escolha dos parâmetros a e b e como isso afeta a representação gráfica.