“Dízima Periódica e Fração Geratriz: Provas para 8º Ano”
Tema: Dizima periódica e fração geratriz
Etapa/Série: 8º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 7
Prova de Matemática – 8º Ano
Tema: Dígitos Periódicos e Fração Geratriz
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Questão 1 – (Valor: 1,0 ponto)
Um aluno apresentou a dízima periódica 0,666… Como podemos representar essa dízima na forma de fração geratriz? Explique o processo que você utilizou.
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Questão 2 – (Valor: 1,0 ponto)
Considere a dízima periódica 0,3(14)…, onde 14 é o período. Determine a fração geratriz dessa dízima e explique suas etapas de resolução.
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Questão 3 – (Valor: 1,0 ponto)
Um comerciante divulgou os preços de dois produtos: um produto custa R$ 5,33(3)… e outro R$ 5,50. Qual produto é mais caro? Justifique sua resposta, transformando a dízima do primeiro produto em fração e analisando os valores.
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Questão 4 – (Valor: 1,0 ponto)
As dízimas periódicas podem ser expressas de diferentes maneiras. Dê um exemplo de uma dízima periódica simples (apenas uma repetição) e outra complexa (mais de um dígito se repetindo), e converta ambas em fração geratriz. Explique os métodos utilizados.
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Questão 5 – (Valor: 2,0 pontos)
Crie uma situação financeira real em que a conversão de uma dízima periódica em fração geratriz seja necessária. Apresente sua situação e resolva-a, detalhando cada passo da conversão.
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Questão 6 – (Valor: 1,5 pontos)
Diz-se que a soma de duas dízimas periódicas que têm o mesmo período é uma dízima periódica. Você concorda com essa afirmação? Justifique sua resposta com exemplos numéricos e a conversão dos mesmos em fração geratriz, se necessário.
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Questão 7 – (Valor: 1,5 pontos)
Discuta a importância da conversão de números decimais periódicos em frações no cotidiano. Cite no mínimo duas áreas em que essa habilidade pode ser útil e desenvolva suas ideias, explicando como isso facilita a resolução de problemas práticos.
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Gabarito
Questão 1
Para representar 0,666… como fração geratriz, podemos chamar ( x = 0,666…). Multiplicando ambos os lados por 10, temos ( 10x = 6,666…). Subtraindo a primeira equação de ambas, obtemos ( 10x – x = 6 ), resultando em ( 9x = 6 ) ou ( x = frac{6}{9} = frac{2}{3} ).
Questão 2
Para a dízima 0,3(14)…, chamamos ( x = 0,3(14)… ). Multiplicando por 1000 para deslocar a parte não periódica (três casas), temos ( 1000x = 314,14… ). Multiplicamos por 100 para deslocar o período: ( 100x = 31,14…). Subtraindo, ( 1000x – 100x = 314 – 31 ), portanto, ( 900x = 283 ), resultando em ( x = frac{283}{900} ).
Questão 3
Convertendo R$ 5,33(3)… para fração, temos ( y = 5,33(3)… ). Usando a técnica com ( z = 0,33(3)… ), que se torna ( z = frac{1}{3} ), portanto ( y = 5 + frac{1}{3} = frac{16}{3} ). Comparando com R$ 5,50, que é ( frac{11}{2} = 5,50 ), encontramos que R$ 5,50 é maior, pois ( frac{16}{3} approx 5,33… < 5,50 ).
Questão 4
Exemplo de dízima periódica simples: ( 0,2(3) ) e complexa: ( 0,1(42) ). A primeira, ( x = 0,2(3) ) resulta em ( 10x = 2,3…) e assim ( 10x – x = 2 Rightarrow 9x = 2 Rightarrow x = frac{2}{9} ). A complexa segue o mesmo princípio, mas deslocando pelo período 100, resultando em ( frac{42}{99}, text{simplificando para } frac{14}{33}. )
Questão 5
Situação: Um cliente considera um empréstimo em que a taxa de juros é de 5,55(5)% ao mês. Ao converter essa taxa, se torna uma fração geratriz, facilitando cálculos financeiros e comparação com outras taxas. Resolvendo ( x = 0,55(5) ), obtemos ( 100x = 5,55… Rightarrow 100x – x = 5,5 Rightarrow 99x = 5 Rightarrow x = frac{5}{99} ).
Questão 6
Concordo, pois a soma de ( 0,1(2) ) e ( 0,1(3) ) resultam em ( 0,1(5) ), que também é uma dízima periódica. Exemplos com suas frações mostram que essas operações mantêm a periodicidade.
Questão 7
Áreas como economia e engenharia frequentemente utilizam frações para cálculos de juros ou capacidade. Essa habilidade permite àqueles nestas áreas resolverem problemas práticos e compreender a relação entre diferentes medidas, facilitando a comparação e interpretação de dados.
