Desvendando a Progressão Geométrica: Prova 2º Ano Ensino Médio
Tema: progressão geométrica
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática e suas Tecnologias
Questões: 8
Prova de Matemática e suas Tecnologias – 2º Ano do Ensino Médio
Tema: Progressão Geométrica
Instruções: Responda às questões a seguir de forma clara e objetiva. Justifique suas respostas sempre que necessário.
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Questão 1
Em uma progressão geométrica (PG), o primeiro termo é 5 e a razão é 3. Determine os quatro primeiros termos desta PG. Explique como você obteve os resultados.
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Questão 2
Uma certa PG tem seu terceiro termo igual a 24 e seu quinto termo igual a 96. Calcule o primeiro termo e a razão desta PG, justificando seus passos.
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Questão 3
Explique o que é uma progressão geométrica e quais são suas propriedades mais relevantes. Dê exemplos para ilustrar suas explicações.
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Questão 4
Demonstre como calcular a soma dos 10 primeiros termos de uma PG em que o primeiro termo é 2 e a razão é 4. Apresente os cálculos e explique cada etapa do processo.
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Questão 5
Considere a PG em que o primeiro termo é 6 e a razão é 0,5. Analise o comportamento desta PG e mostre os três primeiros termos, além de discutir se ela possui um limite inferior.
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Questão 6
Dado que uma PG possui 12 termos e o último termo é 1536, determine a razão e o primeiro termo da PG, sabendo que seu segundo termo é 192. Justifique a sua resposta.
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Questão 7
Desenvolva um problema real que pode ser modelado por uma progressão geométrica, descrevendo a situação. Em seguida, resolva esse problema, apresentando os cálculos necessários.
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Questão 8
Em uma PG, o primeiro termo é 7 e o décimo termo é 3584. Determine a razão da PG e verifique se ela é crescente ou decrescente. Justifique sua resposta.
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Gabarito
Questão 1
Resposta: Os quatro primeiros termos da PG são: 5, 15, 45 e 135.
Justificativa: Para encontrar cada termo, utilizamos a fórmula do termo geral da PG: ( a_n = a_1 cdot q^{(n-1)} ). Assim, ( a_1 = 5 ), ( q = 3 ). Portanto, os termos são:
– ( a_1 = 5 )
– ( a_2 = 5 cdot 3 = 15 )
– ( a_3 = 15 cdot 3 = 45 )
– ( a_4 = 45 cdot 3 = 135 )
Questão 2
Resposta: O primeiro termo é 6 e a razão é 2.
Justificativa: Seja ( a_1 ) o primeiro termo e ( q ) a razão. Temos:
– 3º termo: ( a_3 = a_1 cdot q^2 = 24 )
– 5º termo: ( a_5 = a_1 cdot q^4 = 96 )
Dividindo as duas equações:
[ frac{a_1 cdot q^4}{a_1 cdot q^2} = frac{96}{24} Rightarrow q^2 = 4 Rightarrow q = 2 ]
Substituindo ( q ) na primeira equação:
[ a_1 cdot 2^2 = 24 Rightarrow a_1 cdot 4 = 24 Rightarrow a_1 = 6 ]
Questão 3
Resposta: Uma PG é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é o resultado do produto do termo anterior pela razão comum. Suas propriedades incluem a fórmula do n-ésimo termo ( a_n = a_1 cdot q^{(n-1)} ) e a soma dos n primeiros termos dada por ( S_n = a_1 cdot frac{(1 – q^n)}{1 – q} ) (para ( q neq 1 )). Exemplo: PG com ( a_1 = 2 ) e ( q = 3 ): 2, 6, 18, 54…
Questão 4
Resposta: A soma dos 10 primeiros termos é 2.046.
Justificativa: Usamos a fórmula:
[ S_n = a_1 cdot frac{(1 – q^n)}{1 – q} ]
Substituindo:
[ S_{10} = 2 cdot frac{(1 – 4^{10})}{1 – 4} ]
Calculando:
[ S_{10} = 2 cdot frac{(1 – 1.048.576)}{-3} = 2 cdot frac{-1.048.575}{-3} = 2 cdot 349525 = 2.049050 – 2 = 2046 ]
Questão 5
Resposta: Os três primeiros termos são 6, 3 e 1,5.
Justificativa: Os termos são encontrados pela fórmula do termo geral. Como a razão ( q = 0,5 ), verificamos que a PG está decrescendo e não possui limite inferior, pois continua diminuindo indefinidamente.
Questão 6
Resposta: O primeiro termo é 6 e a razão é 2.
Justificativa: O número de termos ( n = 12 ), e o último termo é ( a_{12} = a_1 cdot q^{11} = 1536 ), com ( a_2 = a_1 cdot q = 192 ). Temos o seguinte sistema:
1. ( a_1 cdot q^{11} = 1536 )
2. ( a_1 cdot q = 192 )
Dividindo:
[ frac{1536}{192} = q^{10} Rightarrow q^{10} = 8 Rightarrow q = 2 Rightarrow a_1 = 192 / 2 = 6 ]
Questão 7
Resposta: Um exemplo real é o crescimento populacional de uma bactéria que dobra a cada hora. Se começamos com 10 bactérias, o número de bactérias entre 1 e 5 horas é uma PG: 10, 20, 40, 80, 160. A soma dos 5 primeiros termos é 310.
Justificativa: Pronto seguindo ( S_n = a_1 cdot frac{(1 – q^n)}{1 – q} ).
Questão 8
Resposta: A razão é 8.
Justificativa: Com a fórmula do termo geral, temos ( a_{10} = a_1 cdot q^9 = 3584 ). Isso implica que ( 7 cdot q^9 = 3584 Rightarrow q^9 = 512 Rightarrow q = 2^{9/3} = 8 ). A PG é crescente, já que a razão é maior que 1.
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Essa prova foi elaborada com o objetivo de avaliar a compreensão dos alunos sobre o tema ‘Progressão Geométrica’, alinhada às expectativas da BNCC para o Ensino Médio, estimulando seu raciocínio crítico e a aplicação prática dos conceitos matemáticos.
