“Desafios de Otimização: Prova de Matemática para o 2º Ano”
Tema: resolução de probelmas de otimização
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática e suas Tecnologias
Questões: 8
Prova de Matemática e suas Tecnologias – 2º Ano do Ensino Médio
Tema: Resolução de Problemas de Otimização
Instruções:
Esta prova contém 8 questões de múltipla escolha. Leia atentamente cada pergunta e assinale a alternativa correta. Boa sorte!
Questões:
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Questão 1: Uma empresa deseja aumentar sua produção de um determinado produto. Seu custo de produção é representado pela função C(x) = 2x² – 8x + 10, onde x é a quantidade produzida. Qual é a quantidade que minimizará os custos de produção?
- A) 2
- B) 4
- C) 6
- D) 3
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Questão 2: Um agricultor precisa cercar um retângulo de 500 metros de comprimento de cerca. Qual deve ser as dimensões do retângulo para que a área cercada seja maximizada?
- A) 250m x 250m
- B) 125m x 250m
- C) 500m x 1m
- D) 0m x 500m
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Questão 3: Para um evento, o custo por convidado é dado por C(x) = 25 + 0,5x, onde x é o número de convidados. Além disso, a receita gerada por convidado é dada por R(x) = 50 – 0,3x. Qual é o número de convidados que maximiza o lucro?
- A) 10
- B) 20
- C) 30
- D) 40
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Questão 4: Um fabricante de caixas deseja minimizar a quantidade de material de embalagem usado, fabricando caixas de papelão com forma cúbica. Se o volume da caixa deve ser de 64 cm³, qual deve ser o comprimento da aresta da caixa para que o material utilizado seja minimizado?
- A) 4 cm
- B) 3.5 cm
- C) 5 cm
- D) 2 cm
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Questão 5: Uma construtora está projetando um jardim retangular com 60 metros de perímetro. Qual deve ser a configuração do jardim para que a área seja a máxima possível?
- A) Quadrado
- B) Retângulo com lados de 30 m x 15 m
- C) Retângulo estendido com 50 m x 5 m
- D) Triângulo equilátero
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Questão 6: Um vendedor tem como meta vender x produtos para maximizar seus ganhos. A função que representa seus ganhos é G(x) = 100x – 0,5x². Qual é o número de produtos que maximiza seus ganhos?
- A) 50
- B) 100
- C) 75
- D) 200
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Questão 7: Um fabricante de refeições pronta avalia a relação custo-benefício de dois tipos de refeições. A primeira custa R1(x) = 5x + 200 e a segunda R2(x) = 7x + 150, sendo x o número de refeições produzidas. Qual é o número de refeições que minimiza o custo total?
- A) 50
- B) 35
- C) 20
- D) 10
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Questão 8: Ao investir em um novo projeto, uma empresa tem uma função de lucro dada por P(x) = -x² + 6x – 8, onde x é a quantidade de produtos vendidos. Qual é o valor de x que maximiza o lucro?
- A) 4
- B) 3
- C) 2
- D) 6
Gabarito:
- B – A função é uma parábola com concavidade voltada para cima. O ponto que minimiza os custos é dado pelo vértice: x = -b/2a = 8/4 = 2.
- A – Para maximizar a área, os lados devem ser iguais, formando um quadrado: A = l², onde l = 250m.
- B – Para maximizar o lucro, devemos igualar C(x) a R(x) e resolver para obter x = 20.
- A – Sabe-se que V = a³. Logo, a = V^(1/3) = 4 cm.
- A – Para maximizar a área, o jardim deve ser quadrado. Com perímetro de 60, as dimensões são 15m x 15m.
- A – Para maximizar G(x), calculamos o vértice e encontramos x = 100/2*0.5 = 100 produtos.
- B – Ao derivar ambas as funções, igualá-las e resolver, encontra-se que o custo total mínimo ocorre aos 35 refeições.
- B – O lucro é maximizado quando a derivada de P(x) é igual a zero, resultando em x = 3; a partir do cálculo do vértice.
Justificativas:
As justificativas apresentadas demonstram o entendimento dos conceitos de resolução de problemas de otimização através da aplicação de técnicas de cálculo, utilizando as propriedades de funções quadráticas e a busca do máximo ou mínimo, de acordo com o contexto apresentado nas questões.
