“Soma de Progressões Aritméticas e Geométricas: Prova de Matemática”
Tema: soma dos termos de uma progressão aritmetica, sequencia numerica, progressão geometrica,
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 6
Prova de Matemática – 2º Ano do Ensino Médio
Tema: Soma dos termos de uma Progressão Aritmética, Sequência Numérica, Progressão Geométrica
Instruções: Responda todas as questões abaixo. As respostas devem ser elaboradas de forma clara e organizada. Justifique sempre que solicitado.
Questão 1
Em uma Sala de Aulas de uma escola, os alunos estão organizados em filas onde cada fila tem um número de alunos que forma uma Progressão Aritmética. Se a primeira fila tem 10 alunos e cada fila seguinte tem 2 alunos a mais que a anterior até a quinta fila, calcule o número total de alunos dessas cinco filas e explique a fórmula que você utilizou.
Questão 2
Analise a sequência numérica a seguir: 3, 6, 12, 24, 48. Identifique se essa sequência é uma progressão aritmética ou uma progressão geométrica, justifique sua resposta e calcule a soma dos primeiros quatro termos.
Questão 3
Considere uma progressão aritmética onde o primeiro termo é 5 e a soma dos 20 primeiros termos é 650. Determine o valor da razão da progressão aritmética e explique o processo utilizado para chegar a sua resposta.
Questão 4
Um investidor aplicou R$ 1.000,00 em um fundo que promete um retorno de 5% ao mês sobre o valor total acumulado. Considere que esse retorno é uma progressão geométrica. Determine o valor acumulado após 6 meses e a soma dos valores recebidos no final de cada mês.
Questão 5
Em um concurso de matemática, um participante ganhou pontos segundo a seguinte regra: No primeiro problema, ele ganha 10 pontos, e a cada problema seguinte, ele ganha 3 pontos a mais que no anterior. Se ele resolveu 15 problemas, calcule a quantidade total de pontos que ele conseguiu e explique como chegou a esse resultado.
Questão 6
A escola atualmente tem 150 alunos. Todos os anos, a quantidade de alunos aumenta em uma razão fixa de 10% em relação ao ano anterior. Considerando que essa variação é uma progressão geométrica, calcule quantos alunos a escola terá no final de 5 anos e a soma total de alunos ao longo deste período.
Gabarito
Questão 1
A PG tem os termos: 10, 12, 14, 16, 18. A soma dos termos é dada pela fórmula: ( S_n = frac{n}{2} (a_1 + a_n) ), onde ( n = 5, a_1 = 10, a_n = 18 ).
Cálculo:
[ S_5 = frac{5}{2} (10 + 18) = frac{5}{2} times 28 = 70 ]
A justificativa é baseada na soma dos primeiros 5 termos da PA.
Questão 2
A sequência é uma PG, onde a razão é (2). Para a soma dos quatro primeiros termos: ( 3 + 6 + 12 + 24 = 45 ).
A justificação envolve a identificação da multiplicação entre os termos.
Questão 3
Usa-se a fórmula ( S_n = frac{n}{2} (2a + (n – 1) r) ). Temos ( 650 = frac{20}{2} (2 times 5 + 19r) ), que resulta em ( r = 5 ).
Cálculo:
[ 650 = 10 (10 + 19r) Rightarrow r = 5 ].
A justificativa é a aplicação correta da fórmula da soma dos termos da PA.
Questão 4
O valor acumulado após 6 meses (PG) é calculado por ( a_n = a_1 cdot r^{(n-1)} ) com ( r = 1,05 ).
Cálculo:
[ a_6 = 1000 cdot 1.05^6 approx 1349,35 ]
E a soma ( S_6 = a_1 cdot frac{r^n – 1}{r – 1} approx 1000 cdot frac{1,34885 – 1}{0,05} approx 6.847,46 ).
Justificativa no uso da fórmula de soma dos termos da PG.
Questão 5
A PA tem os termos: 10, 13, 16, …, até o 15º termo. Usamos ( S_n = frac{n}{2}(a_1 + a_n) ).
Cálculo:
[ S_{15} = frac{15}{2} (10 + 52) = 465 ].
Justificativa é através da identificação dos termos da PA e aplicação direta da fórmula.
Questão 6
A sequência de alunos é dada por uma PG.
Cálculo:
Alunos em 5 anos = ( 150 cdot (1,10^5) approx 242,67 ) (arredondando, temos 243).
A soma é calculada através da soma dos termos de uma PG.
Justificativa é a compreensão da evolução do número de alunos com a porcentagem anual.
