“Soma de Progressões Aritméticas e Geométricas: Prova 2º Ano”

Tema: soma dos termos de uma progressão aritmetica, sequencia numerica, progressão geometrica,
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 6

Prova de Matemática – 2º Ano do Ensino Médio

Tema: Soma dos termos de uma progressão aritmética, sequência numérica e progressão geométrica.

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Instruções:

Leia atentamente cada questão e responda com clareza. A prova contém 6 questões com diferentes formatos. Boa sorte!

Questões:

1. Questão 1 – Múltipla Escolha:

   Em uma progressão aritmética (PA), o primeiro termo é 5 e a razão é 3. Qual é a soma dos 10 primeiros termos desta PA?

   a) 80

   b) 90

   c) 100

   d) 110

2. Questão 2 – Verdadeiro ou Falso:

   A soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) pode ser calculada utilizando-se a fórmula (S_n = a cdot frac{1 – q^n}{1 – q}), onde (a) é o primeiro termo, (q) é a razão e (n) é o número de termos.

   ( ) Verdadeiro

   ( ) Falso

3. Questão 3 – Completar a frase:

   A soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser encontrada com a fórmula ________, onde (S_n) representa a soma dos (n) primeiros termos, (a_1) é o primeiro termo e (a_n) é o último termo.

4. Questão 4 – Cálculo e Justificativa (Dissertativa):

   Uma equipe de alunos está organizando um torneio. O primeiro prêmio é de R$ 100, e cada prêmio seguinte aumenta R$ 20 em relação ao anterior. Qual é a soma dos 5 primeiros prêmios do torneio? Justifique sua resposta.

5. Questão 5 – Múltipla Escolha:

   Considere uma progressão geométrica onde o primeiro termo é 2 e a razão é 3. Qual será o 4º termo dessa PG?

   a) 54

   b) 18

   c) 24

   d) 81

6. Questão 6 – Análise Crítica (Dissertativa):

   Discuta a importância da soma dos termos de uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica na resolução de problemas práticos do dia a dia. Cite um exemplo de cada tipo de progressão em aplicação prática e como a soma dos termos é utilizada nesse contexto.

Gabarito

1. Resposta da Questão 1: b) 90

   Justificativa: A soma dos (n) primeiros termos de uma PA é dada por (S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)r)). Substituindo: (S_{10} = frac{10}{2} (2 cdot 5 + (10-1) cdot 3) = 5 (10 + 27) = 5 cdot 37 = 185).

2. Resposta da Questão 2: (V) Verdadeiro

   Justificativa: A fórmula expressa corretamente a soma dos termos de uma PG, válida para (q neq 1).

3. Resposta da Questão 3:

   A soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser encontrada com a fórmula S_n = frac{n}{2} (a_1 + a_n).

4. Resposta da Questão 4: R$ 300

   Justificativa: Os prêmios formam uma PA: 100, 120, 140, 160, 180. A soma é (100 + 120 + 140 + 160 + 180 = 700).

5. Resposta da Questão 5: d) 81

   Justificativa: O 4º termo de uma PG é (a_4 = a_1 cdot q^{(n-1)} = 2 cdot 3^{(4-1)} = 2 cdot 27 = 54).

6. Resposta da Questão 6:

   A soma dos termos de progressões é aplicada em áreas como finanças e ciência. Uma PA é utilizada em empréstimos, onde as parcelas aumentam periodicamente, enquanto uma PG é relevante em investimentos com juros compostos. A soma dos termos possibilita analisar o total recebido ou pago durante um período.

As respostas e suas justificativas fornecem uma visão clara sobre a aplicação das fórmulas e conceitos de progressões aritméticas e geométricas, procurando promover um entendimento profundo sobre o tema.