Prova – Teorema de Tales (9º ano)
Tema: Teorema de Tales
Etapa/Série: 9º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 7
Prova de Matemática – 9º Ano
Tema: Teorema de Tales
Instruções:
Leia atentamente cada questão e responda com clareza e objetividade. Justifique suas respostas e utilize desenhos ou esquemas quando necessário.
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Questão 1: Compreensão do Teorema de Tales
O Teorema de Tales diz que se uma linha paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois lados, então ela divide esses lados em segmentos proporcionais.
a) Explique este teorema em suas próprias palavras.
b) Dê um exemplo prático de utilização do Teorema de Tales, descrevendo as etapas necessárias para aplicar o teorema.
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Questão 2: Aplicação do Teorema de Tales em Triângulos
Dado um triângulo ABC em que a linha DE é paralela ao lado BC e intercepta os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente. Se AD = 3 cm, DB = 6 cm e AC = 12 cm, calcule o comprimento de AE e justifique sua resposta utilizando o Teorema de Tales.
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Questão 3: Análise Crítica
Considere duas situações: na primeira, um arquiteto usa o Teorema de Tales para escalar um prédio em um projeto. Na segunda, um artista usa o mesmo teorema para criar uma obra de arte em forma de triângulos.
a) Discuta como o Teorema de Tales é relevante em ambas as situações.
b) Apresente as possíveis consequências de uma aplicação incorreta do teorema em cada uma das áreas.
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Questão 4: Teorema de Tales e Semelhança de Triângulos
Imagine que você tem um triângulo isósceles ABC, com AB = AC. Uma linha DE paralela à base BC corta os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente.
a) Demonstre que os triângulos ADE e ABC são semelhantes.
b) Qual é a relação entre suas áreas? Justifique sua resposta.
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Questão 5: Teorema de Tales em Polígonos
Um trapézio ABCD tem as bases paralelas AB e CD. As diagonais AC e BD se interceptam no ponto E.
a) Se a linha EF é desenhada de maneira que seja paralela a AB e corta os lados AD e BC, explique como o Teorema de Tales pode ser aplicado para encontrar a razão entre os segmentos formados.
b) Calcule a razão se AE = 4 cm, EB = 6 cm, CF = 2 cm e DF = 3 cm.
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Questão 6: Desenho e Aplicação do Teorema de Tales
Construa um triângulo ABC com AB = 8 cm, AC = 6 cm, e ângulo C = 60°.
a) Desenhe uma linha DE paralela à base BC e determine as medidas de DE utilizando o Teorema de Tales.
b) Justifique como o teorema sustentou o cálculo das medidas obtidas.
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Questão 7: Problemas Contextualizados
Um engenheiro civil está projetando uma escada de acesso a um edifício. Ele precisa saber qual a altura necessária para que a escada forme um ângulo de 60° com o chão. Usando o Teorema de Tales, explique como a proporção entre a altura da escada (h) e a base (b) pode ser utilizada para determinar essa altura, assumindo que a base da escada deve medir 4 metros.
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Gabarito Detalhado
Questão 1:
a) O Teorema de Tales afirma que uma linha que é paralela a um lado de um triângulo divide os outros dois lados em segmentos com comprimentos proporcionais.
b) Exemplo: Para medir a altura de uma árvore, pode-se usar uma régua e aplicá-la a uma sombra, formando triângulos semelhantes.
Questão 2:
AE = 4 cm. Justificação: Aplicando o Teorema de Tales, temos AD/DB = AE/EC, onde EC = AC – AE.
Questão 3:
a) O teorema permite a criação de escalas precisas e proporções em ambas as situações.
b) Uma aplicação incorreta pode levar a medições equivocadas, comprometendo projetos ou obras de arte.
Questão 4:
a) Os triângulos são semelhantes devido ao critério AA; possui dois ângulos iguais.
b) A relação das áreas é igual ao quadrado da razão entre os lados correspondentes.
Questão 5:
a) A razão pode ser aplicada usando a relação de proporções.
b) A razão encontrada: AE/EB = CF/DF = 4/6 = 2/3.
Questão 6:
a) A medida de DE pode ser calculada usando a proporção de semelhança.
b) Justificativa: O teorema de Tales é utilizado para manter as proporções corretas no cálculo.
Questão 7:
A altura h pode ser calculada como h/(4) = sen(60°) -> h = 4√3 ≈ 6,93 metros. O teorema de Tales garante que as proporções mantêm a proporcionalidade entre as dimensões.
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Essa estruturação visa atender aos pré-requisitos de aprendizado esperado para o 9º ano, promovendo uma avaliação justa e prática sobre o Teorema de Tales.
