“Prova de Trigonometria Básica para 9º Ano: 10 Questões Desafiadoras”

Tema: trigonometria basica
Etapa/Série: 9º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 10

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Prova de Matemática – 9º Ano

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Tema: Trigonometria Básica

Instruções: Responda todas as questões de forma clara e objetiva. Utilize as propriedades da trigonometria básica para fundamentar suas respostas. Cada questão possui valor de 1 ponto, totalizando 10 pontos.

Questões:

1. Questão 1: Em um triângulo retângulo, um dos ângulos agudos mede 30°. Qual é o valor da razão seno desse ângulo? Justifique sua resposta.
2. Questão 2: Um menino está observando um objeto no topo de uma árvore. Ele está a 50 metros de distância da base da árvore e a altura da árvore é de 40 metros. Calcule o ângulo de elevação observado pelo menino em relação ao solo e utilize a função tangente para justificar seu cálculo.
3. Questão 3: Considere um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 8 cm. Calcule a hipotenusa e determine o valor das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente do ângulo oposto ao cateto de 6 cm. Justifique seu cálculo.
4. Questão 4: Um arquiteto precisa calcular a inclinação de uma rampa que tem um desnível de 2 metros e uma base de 5 metros. Calcule o ângulo de inclinação da rampa utilizando a função tangente. Justifique sua resposta.
5. Questão 5: Explique o que são as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, e como elas se relacionam em um triângulo retângulo.
6. Questão 6: Uma escada de 10 metros de comprimento encosta em um muro. A base da escada está a 6 metros da parede. Calcule qual é a altura do ponto em que a escada toca o muro. Utilize o teorema de Pitágoras para fundamentar sua resposta.
7. Questão 7: A partir do ângulo de 45°, explique como as razões seno e cosseno se comportam. Calcule o valor exato de seno e cosseno para este ângulo.
8. Questão 8: Dê um exemplo prático em que a trigonometria básica pode ser utilizada, detalhando como você aplicaria as razões trigonométricas nesse exemplo.
9. Questão 9: Discuta a importância da trigonometria na vida cotidiana, dando pelo menos duas situações onde ela se faz necessária.
10. Questão 10: Em um triângulo retângulo, se o cateto oposto a um ângulo de 60° mede 5 cm, qual é o comprimento da hipotenusa? Justifique seu cálculo utilizando a razão seno.

Gabarito:

1. Resposta 1: O valor do seno de 30° é 1/2. Em um triângulo retângulo, o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
2. Resposta 2: Usando a tangente, temos tan(α) = altura / base = 40/50. Portanto, α = arctan(0,8) ≈ 38,66°.
3. Resposta 3: A hipotenusa é dada pelo teorema de Pitágoras: √(6² + 8²) = √(36 + 64) = 10 cm. O seno = 6/10 = 0,6, cosseno = 8/10 = 0,8 e tangente = 6/8 = 0,75.
4. Resposta 4: Para a rampa, t = desnível/base = 2/5; α = arctan(0,4) ≈ 21,8°.
5. Resposta 5: O seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, o cosseno entre o cateto adjacente e a hipotenusa, e a tangente entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
6. Resposta 6: 10² = 6² + altura²; altura = √(100 – 36) = √64 = 8 m.
7. Resposta 7: Seno(45°) = cosseno(45°) = √2/2. Ambas as razões têm valor igual a 1/√2.
8. Resposta 8: Exemplo: determinação da altura de um edifício. Se conhece a distância do observador, pode-se calcular a altura usando a tangente do ângulo de visão.
9. Resposta 9: Importância em navegação e arquitetura, por exemplo, para calcular distâncias e altitudes.
10. Resposta 10: Seno(60°) = cateto oposto/hipotenusa; √3/2 = 5/h; h = 10/√3. Portanto, h ≈ 5,77 cm.

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