“Prova de Matemática: Teoremas de Tales e Pitágoras para 9º Ano”
Tema: TEOREMA DE TALES, TEOREMA DE PITAGORAS E TEOREMA FUNDAMENTAL
Etapa/Série: 9º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 20
Prova de Matemática – 9º Ano
Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras e Teorema Fundamental da Matemática
Instruções: Responda todas as questões a seguir de forma clara e objetiva. Justifique suas respostas sempre que solicitado.
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Questões:
1. (5 pontos)
Considere o triângulo retângulo ABC, onde o ângulo C é reto. Se AC = 6 cm e BC = 8 cm, use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa AB.
*Justifique seu raciocínio.*
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2. (5 pontos)
Desenhe um triângulo isósceles ABC, onde os lados AB e AC possuem 10 cm cada. Se o base BC mede 12 cm, determine a altura do triângulo em relação à base usando o Teorema de Pitágoras e explique cada passo.
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3. (4 pontos)
Explique o Teorema de Tales e como ele pode ser utilizado para encontrar a razão entre segmentos de reta em uma figura geométrica.
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4. (6 pontos)
Um agricultor deseja dividir um terreno retangular em quatro partes iguais, traçando linhas paralelas a dois lados do retângulo. Se as dimensões do terreno são 40 m por 30 m, use o Teorema de Tales para compreender como a divisão das áreas se relaciona com os segmentos formados e calcule a área de cada parte.
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5. (5 pontos)
Se em um triângulo, a relação entre os comprimentos dos lados é de 3:4:5, verifique se esse triângulo é retângulo, utilizando o Teorema de Pitágoras. Justifique sua resposta.
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6. (4 pontos)
Defina o Teorema Fundamental da Matemática e explique sua importância na resolução de problemas envolvendo números e operações.
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7. (6 pontos)
Um triângulo retângulo tem um cateto de 7 cm e uma hipotenusa de 25 cm. Usando o Teorema de Pitágoras, determine o comprimento do outro cateto e justifique.
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8. (5 pontos)
Em uma figura onde duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, aplique o Teorema de Tales para demonstrar que a razão entre os segmentos das retas cortadas é constante. Use exemplos numéricos para explicar sua resposta.
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9. (6 pontos)
Dado um triângulo ABC, onde a linha DE é traçada paralelamente à base BC, determine a relação entre os segmentos AD e DB, e explique como o Teorema de Tales se aplica nessa situação.
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10. (5 pontos)
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 13 cm, e um dos catetos mede 5 cm. Calcule o outro cateto utilizando o Teorema de Pitágoras e explique o procedimento.
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11. (6 pontos)
Se um triângulo possui lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm, use o Teorema de Pitágoras para validar se esse triângulo é retângulo. Justifique claramente.
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12. (4 pontos)
Explique como a semelhança de triângulos está relacionada ao Teorema de Tales e como você pode aplicar essa semelhança na resolução de problemas.
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13. (6 pontos)
Calcule a distância entre dois pontos (2, 3) e (6, 7) no plano cartesiano, utilizando o Teorema de Pitágoras. Justifique a aplicação do teorema neste caso.
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14. (5 pontos)
Um triângulo possui ângulos medindo 30°, 60° e 90°. Usando o Teorema de Pitágoras, encontre a relação entre os lados e demonstre sua justificação.
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15. (4 pontos)
Evidencie a importância do Teorema de Pitágoras na arquitetura e na engenharia, citando exemplos práticos onde esse teorema é utilizado.
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16. (6 pontos)
Explique como é possível utilizar o Teorema de Tales para determinar a altura de um objeto, como um poste, que não pode ser medido diretamente.
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17. (5 pontos)
Utilizando o Teorema Fundamental da Matemática, resolva a equação 2x + 3 = 11 e explique cada passo.
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18. (6 pontos)
Um triângulo tem vértices A (0,0), B (0,4) e C(3,0). Calcule a área do triângulo utilizando os conceitos relacionados ao Teorema de Pitágoras e explique sua justificativa.
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19. (5 pontos)
Descreva um experimento prático que poderia ser realizado para ilustrar o Teorema de Tales em sala de aula utilizando materiais simples.
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20. (4 pontos)
Defina o papel que os teoremas de Tales e Pitágoras desempenham na matemática e na ciência, e como eles facilitam a resolução de problemas do cotidiano.
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Gabarito
1. AB² = AC² + BC² → AB² = 6² + 8² → AB² = 36 + 64 = 100 → AB = 10 cm.
2. A altura divide a base em dois segmentos de 6 cm e usa Pitágoras para encontrar a altura (h) como √(10² – 6²) = 8 cm.
3. O Teorema de Tales afirma que, se uma reta é paralela a um lado de um triângulo e corta os outros dois lados, determina segmentos proporcionais.
4. Cada área = (40 m * 30 m)/4 = 300 m². A divisão mantém a mesma proporção de áreas.
5. (3² + 4² = 5²) → 9 + 16 = 25, então é retângulo.
6. O Teorema Fundamental da Matemática relaciona equivalência e resolução de problemas e é importante para aplicações práticas.
7. 7² + b² = 25². Resolvendo, o outro cateto mede 24 cm.
8. Segmentos proporcionais confirmam a relação pela razão constante. Exemplo: DE/EF = AD/DB.
9. AD/DB = AE/EC, pela semelhança dos triângulos gerados.
10. b² = 13² – 5² → b² = 169 – 25 → b = 12 cm.
11. (6² + 8² = 10²) → 36 + 64 = 100 é um triângulo retângulo.
12. Semelhança permite resolver questões de tamanho em triângulos, aplicando Tales.
13. Distância: d = √[(6-2)² + (7-3)²] = √[16 + 16] = √32 = 4√2.
14. Relaciona os lados: 1:√3:2 e verifica com Pitágoras.
15. Exemplos: cálculo de estruturas, distâncias. Pitágoras em ângulos e dimensões.
16. Medir sombra e altura, aplicando Tales para aferir a altura do objeto.
17. Resolvendo: 2x = 8 → x = 4. Aplicação direta de operações.
18. Área = (base * altura)/2 = (3*4)/2 = 6 u².
19. Usar duas régua e observar as proporções.
20. Seus papéis estruturam a matemática e auxiliam na resolução prática.
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Esta prova busca não apenas avaliar o conhecimento, mas também a capacidade de aplicar conceitos matemáticos fundamentais. As respostas foram elaboradas para garantir uma compreensão profunda e a conexão destes teoremas com o cotidiano e outras áreas do conhecimento.
