“Prova de Matemática: Teorema de Pitágoras para 9º Ano”
Tema: teorema de pitagoras
Etapa/Série: 9º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática – Teorema de Pitágoras
Nome do Aluno: ________________________________________
Data: _______________
Instruções:
Esta prova é composta por 10 questões dissertativas. Leia atentamente cada questão e responda de forma clara e objetiva. Utilize a folha de resposta para inserir suas respostas.
Questões:
1. Conceituação do Teorema de Pitágoras
Defina o Teorema de Pitágoras. Qual é a sua fórmula e em quais tipos de triângulos ele se aplica? Justifique sua resposta.
2. Demonstração do Teorema de Pitágoras
Apresente uma demonstração inicial do Teorema de Pitágoras utilizando a construção de triângulos retângulos e áreas de quadrados. Explique os passos da sua demonstração.
3. Aplicação Prática
Um arquiteto está projetando um jardim retangular com um caminho diagonal que conecta dois cantos opostos. Se os lados do retângulo medem 6 m e 8 m, calcule o comprimento do caminho utilizando o Teorema de Pitágoras. Explique seu raciocínio.
4. Problema Contextualizado
O ponto A (3, 4) e o ponto B (3, 7) estão em um plano cartesiano. Determine a distância entre os dois pontos. Discuta como o Teorema de Pitágoras pode ser utilizado neste contexto.
5. Triângulos Notáveis
Explique a relação entre o Teorema de Pitágoras e os triângulos 30-60-90 e 45-45-90. Em que casos práticos esses triângulos podem ser utilizados? Dê exemplos.
6. Problema Inverso
Se em um triângulo retângulo um dos catetos mede 5 cm e a hipotenusa mede 13 cm, calcule o comprimento do outro cateto e explique como você aplicou o Teorema de Pitágoras para encontrar a solução.
7. Teorema de Pitágoras em Tridimensional
Explique como o Teorema de Pitágoras pode ser aplicado para calcular a diagonal de um cubo de arestas de 4 cm. Quais são os passos e a fórmula utilizada?
8. Problemas de Razão e Proporção
Um aluno encontrou um triângulo retângulo em uma prova e anotou as medidas dos catetos como 12 cm e 16 cm. O professor perguntou se era um triângulo retângulo perfeito. Verifique se o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Justifique seu resultado.
9. Aplicação em Ciências
Um barco está a 3 km de um rio e 4 km da costa. Se o barco deve ir diretamente até a costa, qual é a distância que ele precisa percorrer? Use o Teorema de Pitágoras e explique seu raciocínio de forma clara.
10. Extensão do Teorema
Além do Teorema de Pitágoras, há diversas fórmulas e teoremas relacionados aos triângulos. Cite e explique um outro teorema que também se aplica aos triângulos e a sua relação com o Teorema de Pitágoras.
Gabarito Detalhado
1. O Teorema de Pitágoras estabelece que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (a² + b² = c²). Ele se aplica exclusivamente a triângulos retângulos.
2. A demonstração pode ser feita construindo quadrados sobre os catetos e a hipotenusa, e mostrando que a área total dos dois menores quadrados é igual à área do maior quadrado.
3. O comprimento do caminho (hipotenusa) pode ser calculado como √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 m.
4. A distância entre os pontos A e B é a diferença em y, que é 3, usando a fórmula da distância. Aqui o Teorema é utilizado para calcular a distância em eixos.
5. Nos triângulos 30-60-90, os lados seguem a proporção 1:√3:2, e nos 45-45-90, 1:1:√2. Usados em muitos contextos da arquitetura e engenharia.
6. Usando a fórmula c² = a² + b², temos 13² = 5² + b² => 169 = 25 + b² => b² = 144, portanto b = 12 cm.
7. Para a diagonal do cubo, aplicamos 4√3 (as diagonais formam um triângulo retângulo no espaço).
8. São 20² e 12² + 16²; portanto, 400 é igual a 144 + 256, logo o triângulo é retângulo.
9. Aplicando: √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 km.
10. Um exemplo é o Teorema de Tales que se relaciona com proporções em triângulos.
Essas respostas devem demonstrar compreensão e aplicação do Teorema de Pitágoras, além de promover reflexão crítica sobre suas múltiplas facetas.
