Prova de Matemática: Questões sobre Projeção Ortogonal para 3º Ano

Tema: projeção ortogonal
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 10

Prova de Matemática – Projeção Ortogonal

Nome do Aluno:_________________

Data:_________________

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Esta prova contém 10 questões de múltipla escolha sobre o tema ‘projeção ortogonal’. Leia atentamente cada questão e escolha a alternativa correta. Boa sorte!

Questões

Questão 1: A projeção ortogonal de um ponto ( A ) sobre uma reta ( r ) é:

• A) a distância mais curta entre o ponto e a reta.
• B) o ângulo formado entre a reta e uma linha que conecta o ponto A à origem.
• C) a interseção da reta com uma linha que sai do ponto A.
• D) a média das distâncias do ponto A aos pontos da reta.

Questão 2: Considerando um ponto ( P(2, 3, 4) ) e um plano definido pela equação ( 2x + y – 3z = 0 ), a projeção ortogonal do ponto ( P ) sobre o plano é:

• A) ( P'(1, 2, 3) )
• B) ( P'(1, 3, 4) )
• C) ( P'(3, 4, 5) )
• D) ( P'(2, 3, 2) )

Questão 3: Em um sistema de coordenadas, a projeção ortogonal de um vetor ( mathbf{v} ) sobre outro vetor ( mathbf{u} ) é dada por:

• A) ( frac{mathbf{v} cdot mathbf{u}}{|mathbf{u}|} )
• B) ( frac{mathbf{u} cdot mathbf{u}}{|mathbf{v}|} )
• C) ( frac{mathbf{v} cdot mathbf{u}}{|mathbf{u}|^2} mathbf{u} )
• D) ( frac{mathbf{u}}{|mathbf{v}|^2} )

Questão 4: Se ( A(1, 2) ) é a projeção ortogonal do ponto ( B(3, 2) ) na reta ( y = 2 ), qual é a relação entre os pontos A e B?

• A) A e B são pontos iguais.
• B) A e B são colineares com a origem.
• C) A é a interseção da reta com a linha vertical que passa por B.
• D) B é a interseção da reta com a linha horizontal que passa por A.

Questão 5: A projeção ortogonal de um vetor ( mathbf{v} ) ao longo da direção de um vetor ( mathbf{u} ) é sempre perpendicular a ( mathbf{u} ). Isso é correto?

• A) Sim, sempre.
• B) Não, nunca.
• C) Apenas em alguns casos.
• D) Sim, apenas em duas dimensões.

Questão 6: Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a projeção ortogonal?

• A) A projeção ortogonal pode mudar a direção do vetor.
• B) A projeção ortogonal é sempre maior que a magnitude do vetor original.
• C) A projeção ortogonal conserva a relação de ângulo entre os vetores.
• D) A projeção ortogonal resulta em um vetor nulo.

Questão 7: A projeção ortogonal do vetor ( mathbf{v} = (4, 3) ) sobre o vetor ( mathbf{u} = (0, 1) ) resulta em:

• A) ( (0, 3) )
• B) ( (4, 0) )
• C) ( (0, 4) )
• D) ( (3, 0) )

Questão 8: Em um espaço tridimensional, se a projeção ortogonal de um vetor ( mathbf{v} ) em um plano é o vetor ( mathbf{w} ), isso significa que:

• A) ( mathbf{w} ) e ( mathbf{v} ) têm a mesma magnitude.
• B) ( mathbf{w} ) é perpendicular à normal do plano.
• C) ( mathbf{v} ) é perpendicular ao plano.
• D) A relação entre ( mathbf{w} ) e ( mathbf{v} ) é ilusória.

Questão 9: Se um vetor ( mathbf{a} ) é projetado sobre um vetor ( mathbf{b} ) resultando em ( mathbf{c} ), podemos afirmar que:

• A) ( mathbf{a} = mathbf{c} )
• B) ( mathbf{c} ) é sempre maior que ( mathbf{b} )
• C) ( mathbf{a} = mathbf{c} + kmathbf{b} ), onde k é um escalar.
• D) ( mathbf{c} ) é perpendicular a ( mathbf{a} )

Questão 10: Em um aplicativo de design gráfico, a relação entre a projeção ortogonal e os objetos projetados é:

• A) A projeção não tem efeito no design.
• B) A projeção pode causar distorção.
• C) A projeção ortogonal mantém a forma e a simetria dos objetos.
• D) A projeção é apenas uma forma de animação.

Gabarito

Questão 1: A) a distância mais curta entre o ponto e a reta.
Justificativa: A projeção ortogonal representa a menor distância entre um ponto e uma reta.

Questão 2: D) ( P'(2, 3, 2) )
Justificativa: Para determinar a projeção de ( P ) sobre o plano, precisamos usar a fórmula da interseção que leva em consideração a normal do plano.

Questão 3: C) ( frac{mathbf{v} cdot mathbf{u}}{|mathbf{u}|^2} mathbf{u} )
Justificativa: Essa é a fórmula correta para calcular a projeção de um vetor ( mathbf{v} ) sobre ( mathbf{u} ).

Questão 4: C) A é a interseção da reta com a linha vertical que passa por B.
Justificativa: A projeção ortogonal no eixo y mantém a mesma coordenada y de B.

Questão 5: A) Sim, sempre.
Justificativa: A definição de projeção ortogonal implica que sempre se formará um ângulo reto com a direção ao longo da qual se projeta.

Questão 6: C) A projeção ortogonal conserva a relação de ângulo entre os vetores.
Justificativa: A projeção mantém a direção do vetor sobre a nova base.

Questão 7: A) ( (0, 3) )
Justificativa: A projeção ortogonal sobre o vetor ( (0, 1) ) mantém apenas a parte vertical do vetor.</p