“Prova de Matemática: Questões sobre Matrizes para 2º Ano”

Tema: matriz
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 5

Prova de Matemática: Tema – Matrizes

Instruções:

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As questões a seguir abordam o tema ‘matriz’. Leia atentamente cada enunciado e responda de forma clara e objetiva. Você pode usar papel à parte para realizar cálculos.

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Questão 1: Conceitos Básicos

Defina o que é uma matriz e descreva suas principais características. Dê exemplos com matrizes de diferentes ordens (2×2, 3×2).

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Questão 2: Operações com Matrizes

Um estudante possui as seguintes duas matrizes:

A = (begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 4 end{bmatrix})

B = (begin{bmatrix} 5 & 7 \ 1 & 2 end{bmatrix})

Calcule a soma das matrizes A e B. Mostre todos os passos do seu cálculo.

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Questão 3: Produto de Matrizes

Considere as matrizes:

C = (begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 end{bmatrix})

D = (begin{bmatrix} 7 & 8 \ 9 & 10 \ 11 & 12 end{bmatrix})

Realize o produto das matrizes C e D e apresente o resultado final. Justifique se a multiplicação é possível e explique o procedimento.

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Questão 4: Matrizes Transpostas

Dada a matriz E = (begin{bmatrix} 3 & 6 \ 9 & 12 \ 15 & 18 end{bmatrix}),

calcule a matriz transposta E^T. Discuta o significado da transposição de uma matriz e onde ela pode ser aplicada.

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Questão 5: Determinante de Matrizes 2×2

Considere a matriz F = (begin{bmatrix} 4 & 5 \ 7 & 8 end{bmatrix}).

Calcule o determinante da matriz F e explique o que o determinante representa em termos geométricos e algébricos.

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Gabarito Detalhado

Questão 1:

Resposta esperada:

Uma matriz é uma disposição retangular de números, organizada em linhas e colunas. As principais características incluem sua ordem (definida pelo número de linhas e colunas) e o fato de que a operação de soma e multiplicação possui regras específicas. Exemplo:

Matriz 2×2: (begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}); Matriz 3×2: (begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 end{bmatrix}).

Questão 2:

Resposta esperada:

A soma é dada pela soma dos elementos correspondentes. Portanto:

A + B = (begin{bmatrix} 2+5 & 3+7 \ 1+1 & 4+2 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 7 & 10 \ 2 & 6 end{bmatrix}).

Questão 3:

Resposta esperada:

A multiplicação é possível, pois o número de colunas de C (3) é igual ao número de linhas de D (3). O resultado será uma matriz 2×2:

CD = (begin{bmatrix} 1cdot7 + 2cdot9 + 3cdot11 & 1cdot8 + 2cdot10 + 3cdot12 \ 4cdot7 + 5cdot9 + 6cdot11 & 4cdot8 + 5cdot10 + 6cdot12 end{bmatrix}) = (begin{bmatrix} 58 & 64 \ 139 & 154 end{bmatrix}).

Questão 4:

Resposta esperada:

A matriz transposta E^T é (begin{bmatrix} 3 & 9 & 15 \ 6 & 12 & 18 end{bmatrix}). A transposição altera as linhas em colunas e vice-versa, sendo utilizada em várias aplicações, como na resolução de sistemas lineares e em análises de dados.

Questão 5:

Resposta esperada:

O determinante de F é dado por (det(F) = 4cdot8 – 5cdot7 = 32 – 35 = -3). O determinante representa a área do paralelogramo formado pelos vetores que definem a matriz, e em termos algébricos, indica se a matriz é invertível (se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível).

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Nota: Cada questão deve ser respondida com clareza e concisão. O aluno deve demonstrar seu entendimento através da execução correta das operações e explicações pertinentes.