“Prova de Matemática: Operações Matriciais e Sistemas Lineares”
Tema: Operações matriciais, Sistemas lineares, Determinantes, Escalonamento de matrizes, sistemas matriciais.
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 20
Prova de Matemática – 3º Ano do Ensino Médio
Esta prova aborda o tema Operações Matriciais, Sistemas Lineares, Determinantes, Escalonamento de Matrizes e Sistemas Matriciais. Responda todas as questões de forma clara e precisa. Boa sorte!
Questões Dissertativas
Questão 1: (Nível 1) Escreva a matriz A representada pelos números a seguir, considerando que esta matriz é 2×3 e que seus elementos são os números naturais de 1 a 6:
A: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Questão 2: (Nível 1) Dada a matriz B = {a, b, c; 1, 2, 3}, determine os valores de a, b e c para que as matrizes B e C = {1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2, 3} sejam iguais.
Questão 3: (Nível 2) Para a matriz D = {1, 0; 0, 1}, construa a matriz transposta DT e justifique as propriedades da transposição.
Questão 4: (Nível 2) Determine os valores de x e y para que a matriz E = {x, 0; 0, y} seja simétrica.
Questão 5: (Nível 2) Dadas as matrizes F = {1, 2; 3, 4} e G = {5, 6; 7, 8}, realize a adição de F + G e apresente a matriz resultante.
Questão 6: (Nível 2) Determine a matriz H, tal que H + E = N, onde N = {0, 0; 0, 0} e E = {2, 2; 3, 5}.
Questão 7: (Nível 2) Dadas as matrizes X = {1, 2; 3, 4} e Y = {5, 6; 7, 8}, encontre a matriz W tal que W = 2X – 3Y.
Questão 8: (Nível 2) Dado o sistema linear U: {2x + 3y = 7; 4x + y = 1}, encontre a matriz que representa este sistema e determine os valores de x e y.
Questão 9: (Nível 3) Considere as matrizes A = {1, 3; 2, 1} e B = {2, 0; 1, 4}. Calcule o produto AB e apresente a matriz resultante.
Questão 10: (Nível 3) Determine a matriz transposta do produto de duas matrizes A e B: (AB)T. Em seguida, subtraia 2C da matriz resultante, onde C = {1, 2; 3, 4}.
Questão 11: (Nível 3) Verifique se a matriz A = {1, 2; 3, 4} possui uma matriz inversa, e se existir, determini-a.
Questão 12: (Nível 3) Resolva a equação matricial AX = B, onde A = {1, 2; 3, 4} e B = {5, 6; 7, 8}. Encontre a matriz X.
Questão 13: (Nível 3) Determine duas matrizes que comutam com a matriz P = {0, 1; 1, 0}.
Questão 14: (Nível 3) Encontre as potências da matriz Q = {1, 1; 0, 1} até a segunda potência e aplique as operações de adição e subtração.
Questão 15: (Nível 3) Dada a matriz R = {0, 0; 0, 0} com zero em todos os elementos, verifique se R é uma matriz nilpotente, apresentando a justificativa.
Questão 16: (Nível 4) Calcule o determinante da matriz S = {2, -1; -1, 2}. Descreva o processo utilizado.
Questão 17: (Nível 4) Utilize o método de triangulação para calcular o determinante da matriz T = {3, 1, 2; 2, 3, 1; 1, 2, 2}.
Questão 18: (Nível 4) Calcule a matriz inversa da matriz M = {4, 7; 2, 6} utilizando o método dos cofatores e a matriz adjunta.
Questão 19: (Nível 4) Acha os cofatores da matriz N = {2, 0, 1; 3, 5, 2; 1, 1, 1} e apresente a matriz de cofatores.
Questão 20: (Nível 4) Resolva um sistema linear em forma escalonada, representado pela matriz O = {1, 2, 1, 0; 0, 1, -1, 1; 0, 0, 0, 0}. Informe a solução do sistema.
Gabarito
Questão 1: A = { {1, 2, 3}, {4, 5, 6} }
Questão 2: a = 1, b = 2, c = 3.
Questão 3: DT = {1, 0; 0, 1} (A matriz transposta mantém os elementos em suas respectivas posições, trocando linhas por colunas).
Questão 4: x e y podem ser quaisquer valores reais, pois a matriz é diagonal.
Questão 5: F + G = {6, 8; 10, 12}.
Questão 6: H = {-2, -2; -3, -5}.
Questão 7: W = {-7, -8; -9, -10}.
Questão 8: U pode ser representado por uma matriz 2×2, onde os valores de x e y são x = 1 e y = 1.
Questão 9: AB = {11, 18; 10, 14}.
Questão 10: (AB)T – 2C = {…} (Solução a ser calculada).
Questão 11: Matriz inversa não existe, pois o determinante é 0.
Questão 12: A solução é X = {1, 0; 0, 1}.
Questão 13: Matrizes que comutam são P e {1,0;0,1}.
Questão 14: Q² = {1, 2; 0, 1}, e operações adicionais podem ser calculadas.
Questão 15: R é nilpotente, pois R² = R.
Questão 16: det(S) = 3.
Questão 17: det(T) = … (A ser calculado via triangulação).
Questão 18: A inversa de M é {3, -3.5; -1, 2}.
Questão 19: Matriz de cofatores … (a ser calculada).
Questão 20: A solução do sistema é (x, y) = (0.5, 0).
As respostas devem ser justificadas com a matemática pertinente a cada operação. As soluções, especialmente nas questões de determinantes e sistemas lineares, devem incluir os passos necessários para uma compreensão aprofund
