“Prova de Matemática: Operações com Matrizes para 2º Ano”
Tema: Operação com Matrizes
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática – 2º Ano do Ensino Médio
Tema: Operação com Matrizes
Instruções: Responda as questões dissertativas a seguir de forma clara e objetiva. Justifique suas respostas quando necessário e utilize exemplos práticos para ilustrar seu raciocínio. A prova é composta por 10 questões e vale 100 pontos.
Questões
1. (10 pontos)
Explique o que são matrizes e quais são suas principais características. Dê exemplos de matrizes de diferentes ordens.
2. (10 pontos)
Considere as matrizes A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[5, 6], [7, 8]]. Realize a adição A + B e explique o processo que você utilizou.
3. (10 pontos)
Realize a subtração das matrizes C = [[9, 8, 7], [6, 5, 4]] e D = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]. Justifique a sua resposta e as operações realizadas.
4. (10 pontos)
Explique o que é a multiplicação de matrizes e discorra sobre as condições para que essa operação seja viável. Utilize um exemplo com duas matrizes.
5. (15 pontos)
Calcule o produto de duas matrizes E = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] e F = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]. Justifique cada passo do cálculo.
6. (10 pontos)
O que é a matriz transposta? Como essa operação é realizada? Dê um exemplo prático produzindo a transposta da matriz G = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]].
7. (10 pontos)
Explique o determinante de uma matriz 2×2 e calcule o determinante da matriz H = [[4, 3], [6, 7]].
8. (10 pontos)
Discuta a importância das operações com matrizes no contexto da resolução de sistemas lineares. Cite um exemplo prático em que isso se aplica.
9. (10 pontos)
Considere as matrizes I = [[2, 4], [1, 3]] e J = [[3, 5], [2, 4]]. Calcule a soma e a multiplicação dessas matrizes. Justifique os resultados.
10. (15 pontos)
A matriz K = [[1, 2], [3, 4]] representa os coeficientes de um sistema de equações lineares. Se as soluções do sistema são dadas por x + y = 3 e 2x + 3y = 7, escreva o sistema na forma matricial e resolva-o utilizando operações com matrizes.
Gabarito
1. Resposta: Matrizes são arranjos retangulares de números, organizados em linhas e colunas. Características incluem a ordem (número de linhas e colunas) e a possibilidade de operações como adição, subtração e multiplicação. Exemplo: A matriz [[1, 2], [3, 4]] é uma matriz 2×2 e [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] é uma matriz 2×3.
2. Resposta: A + B = [[1+5, 2+6], [3+7, 4+8]] = [[6, 8], [10, 12]]. A adição é feita somando os elementos correspondentes das matrizes.
3. Resposta: C – D = [[9-1, 8-2, 7-3], [6-4, 5-5, 4-6]] = [[8, 6, 4], [2, 0, -2]]. A subtração é realizada subtraindo os elementos correspondentes.
4. Resposta: Multiplicação de matrizes é a soma dos produtos dos elementos das linhas de uma matriz com as colunas da outra. Para A (m x n) e B (n x p), A*B é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Exemplo: A = [[1, 2],[3, 4]], B = [[5],[6]] → Produto = [[1*5 + 2*6], [3*5 + 4*6]].
5. Resposta: E * F = [[1*7 + 2*9 + 3*11, 1*8 + 2*10 + 3*12], [4*7 + 5*9 + 6*11, 4*8 + 5*10 + 6*12]] = [[58, 64], [139, 154]]. Justifique a multiplicação por somar os produtos das linhas com as colunas.
6. Resposta: A matriz transposta é obtida trocando suas linhas por colunas. Para G = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]], G^T = [[1, 3, 5], [2, 4, 6]].
7. Resposta: O determinante de uma matriz 2×2 [[a, b], [c, d]] é ad – bc. Para a matriz H, det(H) = (4*7) – (6*3) = 28 – 18 = 10.
8. Resposta: As operações com matrizes são fundamentais na resolução de sistemas lineares, permitindo manipulação e simplificação. Exemplo prático é o uso em circuitos elétricos.
9. Resposta: I + J = [[5, 9], [3, 7]], I * J = [[(2*3 + 4*2), (2*5 + 4*4)], [(1*3 + 3*2), (1*5 + 3*4)]] = [[20, 26], [12, 17]].
10. Resposta: O sistema é escrito como K * X = B, onde X = [[x], [y]] e B = [[3], [7]]. Para resolver, encontre a inversa de K e multiplique por B. A solução é dada pela multiplicação da matriz inversa pela matriz B.
Esse formato de prova, com claras definições e aplicações práticas, atende às diretrizes da BNCC para o desenvolvimento de competências matemáticas de forma crítica e aplicada no Ensino Médio.
