“Prova de Matemática: Operações com Matrizes para 2º Ano”
Tema: Operação com Matrizes
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática – Operações com Matrizes
Turma: 2º ano – Ensino Médio
Data: [Inserir Data]
Duração: 90 minutos
Instruções:
Leia cada questão atentamente e responda de forma clara e objetiva. Justifique suas respostas quando solicitado e demonstre todos os passos do seu raciocínio.
Questões:
1. (2 pontos)
Considere as matrizes A e B dadas por:
A = (begin{bmatrix} 2 & 3 \ 4 & -1 end{bmatrix}) e B = (begin{bmatrix} 1 & 0 \ 5 & 6 end{bmatrix}).
Calcule a soma A + B e justifique seu procedimento.
2. (3 pontos)
Determine o produto das matrizes A e B (definidas na questão 1). Explique por que a multiplicação de matrizes não é comutativa, à luz do seu cálculo.
3. (3 pontos)
Dada a matriz C = (begin{bmatrix} 0 & -3 & 4 \ 1 & 2 & 1 end{bmatrix}), calcule 2C + 3B, onde B é a mesma da questão 1. Apresente a operação passo a passo.
4. (2 pontos)
Defina o que é uma matriz transposta. Em seguida, calcule a transposta da matriz A (da questão 1) e explique a importância da matriz transposta em operações com matrizes.
5. (3 pontos)
A matriz D = (begin{bmatrix} 3 & 5 \ -2 & 4 \ 1 & 0 end{bmatrix}) representa uma transformação em um espaço vetorial. Calcule o determinante de D, justificando a sua solução. Se D não for quadrada, explique como a noção de determinante é restrita a matrizes quadradas.
6. (3 pontos)
Mostre que a operação de subtração de matrizes é possível usando as matrizes A e C definidas nas questões anteriores. Qual a relação dessa operação com a soma?
7. (2 pontos)
Dada a matriz E = (begin{bmatrix} 4 & 1 \ 2 & 8 end{bmatrix}), calcule a inversa de E, se existir. Explique como você chegou à sua conclusão.
8. (3 pontos)
Descreva uma aplicação prática das matrizes no mundo real que envolva operações de matriz. Explique como a operação com matrizes facilita a solução de problemas nessa área.
9. (3 pontos)
Suponha que F = (begin{bmatrix} 7 & 0 \ 0 & 5 \ 0 & 0 end{bmatrix}) e G = (begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \ 4 & -1 & 0 end{bmatrix}). Verifique se a multiplicação FG é possível. Caso positivo, calcule FG e explique o resultado.
10. (4 pontos)
Um sistema de equações lineares pode ser representado através de uma matriz aumentada. Dado o sistema:
[
begin{cases}
2x + 3y = 6 \
4x – y = -1
end{cases}
]
Construa a matriz aumentada correspondente e resolva o sistema utilizando operações com matrizes.
Gabarito
1. A + B = (begin{bmatrix} 3 & 3 \ 9 & 5 end{bmatrix})
Para somar matriz, somamos os elementos correspondentes: ( (2+1), (3+0); (4+5), (-1+6) ).
2. A × B = (begin{bmatrix} 19 & 18 \ 8 & 24 end{bmatrix})
Multiplicação: [1, 2] (linhas) por [1, 5] (colunas). A ordem importa: A × B ≠ B × A.
3. 2C + 3B = (begin{bmatrix} 15 & 15 \ 11 & 21 end{bmatrix})
Multiplique cada elemento por 2! e 3! e some.
4. Transposta de A: (A^T = begin{bmatrix} 2 & 4 \ 3 & -1 end{bmatrix})
A matriz transposta troca linhas por colunas, importante para resolver sistemas.
5. Determinante não definido, D é não quadrada
Determinante só para matrizes quadradas.
6. A – C = (begin{bmatrix} 2 & 6 \ 3 & -2 end{bmatrix})
Subtração igual à soma dos opostos.
7. E⁻¹ = (begin{bmatrix} 0.125 & 0.015625 \ 0.025 & 0.125 end{bmatrix}) (ou semelhante, se preciso).
Inversa calula-se pelo determinante e matriz adjunta.
8. Matriz de dados, representando condições de um problema real, simplifica cálculos complexos. Exemplo: computação gráfica.
9. Multiplicação possível, FG = (begin{bmatrix} 14 & 21 & 21 \ 10 & -5 & 0 end{bmatrix})
Multiplicando compatibilidade de dimensões.
10. A matriz aumentada correspondente: ( begin{bmatrix} 2 & 3 & 6 \ 4 & -1 & -1 end{bmatrix} )
Utilize operações elementares para encontrar A e B, ex: eliminação Gaussiana.
Este gabarito aborda pontos centrais de cada operação e justifica os passos, conforme esperado no 2º ano do Ensino Médio.
