Prova de Matemática: Lei dos Senos e Cossenos para o 2º Ano

Tema: lei dos senos e cossenos
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 10

Prova: Lei dos Senos e Cossenos – 2º Ano do Ensino Médio

Instruções: Esta prova contém 10 questões, envolvendo múltipla escolha, verdadeiro ou falso, questões dissertativas e de completar. Responda todas as questões e justifique sua resposta quando solicitado. Utilize caneta azul ou preta e escreva suas respostas com clareza.

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Questões

1. (Múltipla Escolha) Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são a, b e c, e os ângulos opostos a esses lados são A, B e C, respectivamente. Qual das opções expressa corretamente a relação estabelecida pela Lei dos Senos?

   1. a/b = senA/senB
   2. a/senA = b/senB
   3. senA/senB = b/a
   4. senB/senA = a/b

2. (Verdadeiro ou Falso) A Lei dos Cossenos é utilizada para encontrar a medida de um lado em um triângulo quando se tem a medida dos outros dois lados e o ângulo entre eles.

   ( ) Verdadeiro ( ) Falso

3. (Dissertativa) Utilize a Lei dos Senos para calcular a medida do lado a de um triângulo, sabendo que b = 10, A = 30° e B = 45°. Justifique cada passo da sua resolução.
4. (Completar) A Lei dos Cossenos afirma que, para um triângulo com lados a, b e c, e respectivos ângulos A, B e C, a relação pode ser expressa como __________. (insira a fórmula apropriada)
5. (Múltipla Escolha) Qual das situações a seguir ilustra um uso prático da Lei dos Senos?

   1. Calcular a altura de uma árvore utilizando o ângulo de elevação.
   2. Determinar a área de um triângulo com todos os lados conhecidos.
   3. Encontrar a distância entre dois pontos em um plano cartesiano.
   4. Identificar os ângulos de um triângulo retângulo.

6. (Verdadeiro ou Falso) A Lei dos Cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras, aplicável não apenas a triângulos retângulos, mas a qualquer triângulo.

   ( ) Verdadeiro ( ) Falso

7. (Dissertativa) Calcule o valor do ângulo C em um triângulo cujos lados medem a = 7, b = 10 e c = 5. Utilize a Lei dos Cossenos e justifique sua resolução.
8. (Múltipla Escolha) Quando podemos usar a Lei dos Senos para resolver um triângulo?

   1. Quando conhecemos dois ângulos e um lado.
   2. Quando conhecemos todos os lados.
   3. Quando conhecemos dois lados e um ângulo entre eles.
   4. Quando conhecemos um ângulo e um lado oposto.

9. (Completar) Se em um triângulo temos os lados a = 8, b = 6 e C = 60°, podemos encontrar o lado c utilizando a Lei dos Cossenos como __________. (insira a fórmula apropriada)
10. (Verdadeiro ou Falso) A Lei dos Senos pode ser utilizada para encontrar a altura de um triângulo quando se conhece a medida de um lado e os ângulos adjacentes.

    ( ) Verdadeiro ( ) Falso

Gabarito Detalhado

1. Resposta: b

   Justificativa: A Lei dos Senos expressa a relação como a/senA = b/senB, que é a forma correta.

2. Resposta: Verdadeiro

   Justificativa: Essa afirmação é correta, pois a Lei dos Cossenos é usada para encontrar lados em triângulos quando temos a informação dos dois lados e o ângulo entre eles.

3. Resposta:

   1. Aplicamos a Lei dos Senos: a/senA = b/senB.

   2. Reorganizamos para encontrar a: a = b * (senA / senB).

   3. Substituímos b = 10, A = 30° e B = 45°:

   a = 10 * (sen30° / sen45°) → a = 10 * (0,5 / √2/2) → a = 10 * (0,5 / 0,7071) → a ≈ 7,07.

   Justificativa: Os passos estão coerentes com a Lei dos Senos.

4. Resposta: c² = a² + b² – 2ab*cosC.

   Justificativa: Esta é a fórmula da Lei dos Cossenos que relaciona os lados e o ângulo de um triângulo.

5. Resposta: a

   Justificativa: A situação correta é medir a altura de uma árvore utilizando ângulos, que se aplica a Lei dos Senos.

6. Resposta: Verdadeiro

   Justificativa: A Lei dos Cossenos é, de fato, uma generalização do Teorema de Pitágoras.

7. Resposta:

   1. Usamos a Lei dos Cossenos: c² = a² + b² – 2ab*cosC.

   2. Substituímos os valores: c² = 7² + 10² – 2*7*10*cosC.

   3. Após calcular, isolamos cosC e encontramos o ângulo C.

   Justificativa: A aplicação da Lei dos Cossenos para encontrar o ângulo C é correta.

8. Resposta: a

   Justificativa: Precisamos de dois ângulos e um lado para usar a Lei dos Senos.

9. Resposta: c² = a² + b² – 2ab*cosC

   Justificativa: Esta é uma aplicação da Lei dos Cossenos.

10. Resposta: Verdadeiro

    Justificativa: A Lei dos Senos pode ser usada para encontrar a altura quando se tem um lado e os ângulos adjacentes.

Certifique-se de revisar suas respostas antes de entregar a prova. Boa sorte!