“Prova de Matemática: Funções para 1º Ano do Ensino Médio”
Tema: Funções
Etapa/Série: 1º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 3
Prova de Matemática – 1º ano do Ensino Médio
Tema: Funções
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Instruções: Responda todas as questões de forma clara e objetiva, justificando suas respostas quando necessário. Utilize caneta azul ou preta e escreva com letra legível.
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Questão 1
Cenário: Considere a função ( f(x) = frac{w + 9}{v – left(ux + frac{v}{wx + u}right)} ).
a) Determine o máximo domínio da função ( f ), justifique seu raciocínio.
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### Questão 2
Cenário: Seja a função ( F(x) = frac{1}{v cdot left( frac{x}{u} + 3 right)} ).
a) Determine o máximo domínio da função ( F ).
b) Esboce o gráfico de ( F ).
c) Determine as raízes de ( F ), se existirem.
d) Analise o sinal da função ( F ).
e) Analise o crescimento da função ( F ).
f) Determine a taxa média de variação entre ( x = 0 ) e ( x = 1 ).
g) Determine a taxa média de variação entre ( x = 1 ) e ( x = 2 ).
h) Comparando os resultados dos itens ( f ) e ( g ), explique, com suas palavras, como justificar a diferença encontrada entre esses dois valores.
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### Questão 3
Cenário: Uma bola, ao ser chutada por um goleiro, teve sua trajetória descrita pela equação ( h(t) = -(u + v) cdot (t^2 – 2wt) ), com ( t geq 0 ), onde ( t ) é o tempo medido em segundos desde o momento do chute e ( h(t) ) é a altura em metros da bola no instante ( t ).
Valores para Lucas:
– ( u = 4 )
– ( v = 2 )
– ( w = 8 )
a) A altura da bola 1 segundo após o chute.
b) O instante em que a bola retornará ao solo.
c) O instante em que a altura é máxima.
d) A altura máxima atingida pela bola.
e) Esboce o gráfico aproximado da função ( h ), do chute até retornar ao solo.
f) Analise o sinal e o crescimento da função ( h ).
g) Determine a taxa média de variação da função ( h ) entre ( t = 0 ) e o valor do tempo encontrado no item ( b ). Justifique ou explique, com suas palavras, o resultado encontrado.
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Gabarito Detalhado
### Questão 1
a) O máximo domínio da função ( f(x) ) é encontrado ao observar os valores que tornam o denominador igual a zero. Portanto, resolvemos:
[ v – (ux + frac{v}{wx + u}) = 0 ]
Para ( v ) e ( w ) não serem iguais a zero, o domínio será todos os reais, exceto os pontos onde ( ux + frac{v}{wx + u} ) se iguala a ( v ).
### Questão 2
a) O domínio de ( F(x) ) ocorre quando ( frac{x}{u} + 3 neq 0 ). Logo, ( x neq -3u ).
b) O gráfico de ( F(x) ) terá assíntotas verticais em ( x = -3u ) e uma assíntota horizontal em ( y = 0 ).
c) A função ( F(x) ) não possui raízes, uma vez que o numerador é constante e diferente de zero.
d) O sinal de ( F ) depende do sinal do denominador. Portanto, analise em intervalos onde ( frac{x}{u} + 3 ) é positivo ou negativo.
e) O crescimento de ( F ) será analisado pelo estudo da primeira derivada. A função ( F(x) ) decresce onde a derivada é negativa e cresce onde é positiva.
f) A taxa média de variação entre ( x = 0 ) e ( x = 1 ) será dada por ( frac{F(1) – F(0)}{1 – 0} ).
g) A taxa média de variação entre ( x = 1 ) e ( x = 2 ) será calculada pela mesma fórmula.
h) A diferença nos valores de variação pode ser justificada pela mudança na inclinação da função e a influência de fatores como a concavidade.
### Questão 3
a) Para ( t = 1 ):
[ h(1) = -(4 + 2)(1^2 – 2 cdot 8 cdot 1) = -6(1 – 16) = 90 text{ metros} ]
b) Para retornar ao solo, resolvemos ( h(t) = 0 ).
c) A altura é máxima quando ( t = frac{w}{2} = 4 ).
d) Substituindo ( t = 4 ):
[ h(4) = -(4 + 2)(16 – 64) = 360 text{ metros} ]
e) O gráfico assemelhar-se-á a uma parábola invertida, com o vértice em ( (4, 360) ) e cortando o eixo ( x ) onde ( h(t) = 0 ).
f) O sinal permanece positivo até ( t_{text{max}} ) e negativo após.
g) A taxa média de variação entre ( t = 0 ) e o instante determinado no item ( b ) deve ser justificada com base nas alturas calculadas.
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Este gabarito detalha a forma de resolução das questões, proporcionando uma compreensão clara sobre como trabalhar com funções e suas características práticas e teóricas.
