“Prova de Matemática: Função Quadrática para 1º Ano do Ensino Médio”
Tema: função quadratica
Etapa/Série: 1º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 20
Prova de Matemática – Função Quadrática
Nome do Aluno: ___________________________________
Data: ____/____/____
Instruções: Responda todas as questões a seguir. As respostas devem ser claras e bem fundamentadas. Utilize caneta azul ou preta e escreva à mão em folha separada quando solicitado.
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Questões Dissertativas
#### 1. Definição e Forma Geral
Descreva o que é uma função quadrática e apresente sua forma geral. Explique o significado de cada um dos coeficientes na equação ( f(x) = ax^2 + bx + c ).
#### 2. Gráfico da Função Quadrática
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Explique como a concavidade da parábola (para cima ou para baixo) está relacionada ao valor do coeficiente ( a ).
#### 3. Raízes da Função Quadrática
Explique o que são as raízes de uma função quadrática e como elas podem ser encontradas. Apresente a fórmula de Bhaskara e comente sobre as condições para a existência de raízes reais.
#### 4. Vértice da Parábola
Defina o vértice de uma função quadrática e apresente a fórmula para encontrá-lo. Qual a sua importância na análise do gráfico da função?
#### 5. Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Descreva como determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função quadrática a partir do seu gráfico. Utilize um exemplo prático para ilustrar sua resposta.
#### 6. Aplicação Prática
Uma bola é lançada para cima com a altura em metros dada pela função ( h(t) = -4,9t^2 + 20t + 2 ), onde ( t ) é o tempo em segundos. Determine a altura máxima que a bola alcançará e em que tempo isso ocorre. Justifique seu método.
#### 7. Eixos de Simetria
O gráfico de uma função quadrática possui um eixo de simetria. Explique como ele pode ser encontrado e qual é a sua relação com as raízes da função.
#### 8. Equação da Parábola
Um gráfico de uma parábola possui seu vértice nas coordenadas (3, -2) e passa pelo ponto (5, 0). Encontre a equação da função quadrática que representa essa parábola.
#### 9. Interpretação de Gráficos
Considere o gráfico de uma função quadrática que intercepta o eixo ( y ) na coordenada (0, 4). Se suas raízes são ( x_1 = -2 ) e ( x_2 = 2 ), escreva a função correspondente e verifique a relação entre as raízes e o coeficiente ( a ).
#### 10. Crescimento ou Decrescimento
Considere a função ( f(x) = 2x^2 – 8x + 3 ). Identifique os intervalos em que a função está crescendo e decrescendo. Justifique a sua resposta.
#### 11. Discriminante
Para a função ( g(x) = x^2 + kx + 12 ), encontre o valor de ( k ) para que a função tenha apenas uma raiz real. Explique seu raciocínio.
#### 12. Aplicando a Fórmula de Bhaskara
Calcule as raízes da função quadrática ( f(x) = 3x^2 – 12x + 9 ) utilizando a fórmula de Bhaskara e explique cada passo do cálculo.
#### 13. Problema de Otimização
Um fazendeiro deseja construir um cercado retangular de área ( 200 m^2 ). Sabendo que uma das dimensões do cercado é ( x ) metros, expresse a outra dimensão em função de ( x ) e determine a dimensão que minimiza o perímetro total do cercado.
#### 14. Compreensão Funcional
Explique como a função quadrática pode ser utilizada em diferentes contextos da vida real, citando pelo menos dois exemplos.
#### 15. Transformações de Gráficos
Como o gráfico da função ( f(x) = (x-1)^2 + 4 ) difere do gráfico da função padrão ( f(x) = x^2 )? Descreva as transformações realizadas.
#### 16. Análise de Parâmetros
Identifique o efeito de alterar o coeficiente ( b ) na função quadrática ( f(x) = ax^2 + bx + c ) sobre as raízes da função. Utilize exemplos numéricos para justificar sua resposta.
#### 17. Aplicação de Conceitos
Estime a solução do problema de um objeto que é lançado verticalmente para cima e que atinge a altura de 1,5 m. Se a equação do movimento é dada por ( h(t) = -5t^2 + 20t + 1,5 ), encontre o tempo que leva para o objeto atingir essa altura.
#### 18. Interpretação de Resultado
Se de uma função quadrática ( y = ax^2 + bx + c ) se tem ( a = 1, b = -4 ) e ( c = 5 ), calcule as raízes e comente o que isso significa em termos de interseção com o eixo ( x ).
#### 19. Equações Simultâneas
Determine a solução do sistema de equações formado por uma função quadrática ( y = -x^2 + 4 ) e uma função linear ( y = 2x + 1 ). Como essas soluções se relacionam graficamente?
#### 20. Discussão Crítica
Discuta a importância da função quadrática no ensino de matemática para alunos do Ensino Médio. Quais habilidades críticas os alunos desenvolvem ao estudá-la?
Gabarito
1. A função quadrática é uma função polinomial de grau 2, geralmente expressa na forma ( f(x) = ax^2 + bx + c ), onde ( a ), ( b ) e ( c ) são constantes. O coeficiente ( a ) determina a concavidade, ( b ) está associado à inclinação da parábola e ( c ) é o ponto de interseção com o eixo ( y ).
2. Se ( a > 0 ), a parábola abre para cima; se ( a < 0 ), abre para baixo. Essa característica é crucial para determinar a localização do vértice.
3. As raízes de uma função quadrática são os valores de ( x ) para os quais ( f(x) = 0 ). Elas podem ser encontradas usando a fórmula de Bhaskara: ( x = frac{-b pm sqrt{D}}{2a} ), onde ( D = b^2 – 4ac ) (discriminante). O valor de ( D ) pode ser positivo, zero ou negativo, indicando duas, uma ou nenhuma raiz real, respectivamente.
4. O vértice é o ponto máximo ou mínimo da parábola, encontrado em ( x_v = -frac{b}{2a} ) e ( y_v = f(x_v) ). É importante porque indica o valor crítico da função.
5. Os intervalos de crescimento e decrescimento podem ser determinados a partir do sinal da derivada da função, que é positiva onde a função cresce e negativa onde decresce.
6. Para ( h(t) = -4,9t^2 + 20t + 2 ), o tempo para altura máxima pode ser determinado usando ( t = frac{-b}{2a} = frac{-20}{2 cdot -4,9} ). Substituindo o tempo encontrado na função, encontramos a altura máxima.
7. O eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo vértice e é encontrado em ( x_v = -frac{b}{2a} ), possuindo uma relação direta com as raízes, pois a simetria no gráfico implica que ( x_1 + x_2 = -frac{b}{a} ).
8. Para determinar a equação, utilizamos a forma vértice. Substituindo ( x = 5 ) e ( y = 0 ) na forma ( f(x) = a(x-3)^2 – 2 ), encontramos o valor de ( a ) e a função completa.
9. A função correspondente deve ser ( f(x)= -(x^2 – 4) + 4 ) ou uma variação do formato. A relação entre as raízes e ( a ) demonstra como afeta a abertura da parábola.
10. Crescimento ocorre quando ( x 2 ), pois o vértice da parábola é o ponto de mínimo.
11. Para ter exatamente uma raiz real, ( D ) deve ser igual a zero
