Prova de Matemática: Domine PA e PG com 20 Questões Desafiadoras
Tema: progressão aritmetica, progressão geometrica
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 20
Prova de Matemática: Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
Aluno(a): ______________________
Data: ___/___/____
Disciplina: Matemática
Professor(a): ______________________
Instruções:
Responda as questões de forma clara e objetiva. Utilize raciocínio matemático para justificar suas respostas, quando solicitado. Essa prova contém 20 questões dissertativas, com variados níveis de complexidade.
Questões:
1. Defina o que é uma progressão aritmética (PA). Dê um exemplo e calcule seu termo geral.
2. Considere a PA onde o primeiro termo é 5 e a razão é 3. Determine os cinco primeiros termos dessa PA.
3. Uma sequência numérica é uma PA com o primeiro termo igual a 10 e a razão igual a -2. Encontre o décimo termo dessa PA.
4. Explique a diferença entre progressão aritmética e progressão geométrica. Dê exemplos de cada uma.
5. A sequência dos números 2, 4, 8, 16, … é um exemplo de progressão. Classifique-a e justifique sua resposta.
6. Calcule a soma dos primeiros 10 termos da PA em que o primeiro termo é 2 e a razão é 5.
7. Uma PA tem 10 termos, onde o primeiro termo é 4 e o último é 34. Encontre a razão da PA.
8. Considere uma PG em que a razão é 2 e o primeiro termo é 3. Determine o quinto termo dessa PG.
9. Qual é a soma dos primeiros 6 termos da PG onde o primeiro termo é 1 e a razão é 3?
10. Demonstre como você pode determinar o número de termos de uma PA, se você souber o primeiro e o último termo, bem como a razão.
11. Um investidor faz um depósito inicial de R$ 1.000 em um fundo de investimento que cresce de forma geométrica com taxa de 5% ao ano. Calcule o montante após 3 anos.
12. Em uma PA, constate que a soma dos dois primeiros termos é 8 e a soma dos dois últimos termos é 32, sabendo-se que há 6 termos. Determine todos os termos da PA.
13. A sequência de números 1, 3, 9, 27, … é uma PG. Determine o décimo termo dessa PG.
14. Uma pessoa caminha 2 km no primeiro dia e, a cada dia seguinte, aumenta sua caminhada em 1 km. Determine a distância que ela percorrerá no décimo dia.
15. Uma obra de arte está em um leilão e seu valor se apreciará 20% a cada semana. Se o valor inicial é de R$ 500,00, qual será seu valor após 5 semanas?
16. Em uma PA, sabendo que o primeiro termo é 12 e o último é 48, e que a soma dos 5 termos dessa PA é 150, determine a razão.
17. Uma loja tinha o preço de um produto como R$ 50,00 e aplicou desconto de 10% ao mês, criando uma PG. Qual será o preço do produto após 4 meses?
18. Discuta a importância do uso de PAs e PGs em problemas do cotidiano. Dê um exemplo que utilize essas progressões.
19. Considere uma PA de dois termos e uma PG de três termos. Como você pode relacionar os termos de ambas as sequências se o primeiro termo da PA for igual ao segundo termo da PG?
20. Encontre uma sequência que seja ao mesmo tempo uma PA e uma PG, justificando sua resposta.
Gabarito:
1. Definição de PA: PA é uma sequência onde a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Exemplo: 2, 5, 8, 11… (razão 3). Termo geral: (a_n = a_1 + (n-1) cdot r).
2. Cinco primeiros termos: 5, 8, 11, 14, 17.
3. Décimo termo: (10 + (10 – 1)(-2) = -8).
4. Diferença: PA tem diferença fixa (ex.: 2, 4, 6) e PG tem razão fixa (ex.: 2, 4, 8).
5. Classificação: É uma PG, pois cada termo é multiplicado por 2 para formar o próximo.
6. Soma dos termos: (S_n = frac{n}{2}(a_1 + a_n) = 10/2(2 + 52) = 5 cdot 54 = 270).
7. Razão da PA: (r = frac{34 – 4}{10 – 1} = frac{30}{9} = frac{10}{3}).
8. Quinto termo da PG: (3 cdot 2^{(5-1)} = 3 cdot 16 = 48).
9. Soma dos termos: (S_n = a_1 cdot frac{r^n – 1}{r – 1} = 1 cdot frac{3^6 – 1}{3 – 1} = frac{729 – 1}{2} = 364).
10. Número de termos de uma PA: Fórmula do n-ésimo termo, se (a_n = a_1 + (n-1) cdot r), (n = frac{a_n – a_1}{r} + 1).
11. Montante após 3 anos: (M = 1000 cdot (1 + 0.05)^3 approx 1157.625).
12. Termos da PA: (a_1 = 4, a_2 = 4 cdot 1 + 4 = 4, a_3 = 7, a_4=10, a_5=14 text{ e, } a_6 = 15).
13. Décimo termo da PG: (a_{10} = 1 cdot 3^{(10-1)} = 19683).
14. Distância no décimo dia: (d = 2 + (10-1) cdot 1 = 11 text{ km}).
15. Valor após 5 semanas: (500 cdot (1 + 0.20)^5 = 500 cdot 2.48832 approx 1244,16).
16. Razão da PA: (10) (identificando direto pela soma).
17. Preço após 4 meses: (P_n = P_0 cdot (1 – 0.10)^4).
18. Importância PAs e PGs: Ex.: Finanças e crescimento populacional.
19. Relação PA e PG: Identificando intersecções dos termos.
20. Exemplo: Sequência {1, 1, 1} é PA e PG. Justificativa: diferença e razão são nulas.
As respostas apresentadas vão além do simples cálculo, incentivando o aluno a refletir sobre como os conceitos podem ser utilizados em diferentes contextos. A clareza e a organização promovem um melhor entendimento e aplicação dos temas de Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.
