“Prova de Matemática: Desvendando a Equação do Segundo Grau”
Tema: equação do segundo grau
Etapa/Série: 8º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 15
Prova de Matemática: Equação do Segundo Grau – 8º Ano
Instruções:
Leia atentamente cada questão e responda com clareza. Justifique suas respostas sempre que solicitado. Cada questão vale pontos diferentes, totalizando 100 pontos.
Questões
1. (5 pontos) Explique o que é uma equação do segundo grau e cite sua forma geral.
2. (7 pontos) Resolva a equação (2x^2 – 8 = 0) e indique as raízes encontradas.
3. (8 pontos) Demonstre como você encontraria as raízes da equação (x^2 + 6x + 8 = 0) utilizando a fórmula de Bhaskara. Apresente as etapas do cálculo.
4. (10 pontos) Uma parábola representa a função quadrática (y = x^2 – 4x + 3). Determine as raízes da equação associada e interprete graficamente como elas se relacionam com o gráfico da parábola.
5. (6 pontos) Qual é o discriminante da equação (3x^2 + 4x + 1 = 0)? O que ele indica sobre as raízes dessa equação?
6. (9 pontos) Resolva a equação (x^2 + 2x + 1 = 0) por fatoração e explique o método utilizado.
7. (7 pontos) Discuta a importância do discriminante na análise de uma equação do segundo grau. O que acontece quando o discriminante é negativo, zero ou positivo?
8. (10 pontos) Uma pessoa lança uma bola para o alto e a altura (h) da bola após (t) segundos é dada pela equação (h(t) = -5t^2 + 15t + 2). Qual é a altura máxima que a bola alcançará? Justifique seu raciocínio.
9. (5 pontos) Por que a equação do segundo grau é considerada uma função quadrática? Relacione com o conceito de gráfico parabolóide.
10. (10 pontos) Encontre as raízes da equação (2x^2 + x – 3 = 0) utilizando a fórmula de Bhaskara. Justifique cada passo realizado na resolução.
11. (8 pontos) Um comerciante observa que suas vendas podem ser descritas pela equação (S(x) = -2x^2 + 12x + 10), onde (S) é a quantidade de vendas em função do número de semanas (x). Determine o número de semanas que maximiza as vendas.
12. (6 pontos) Explique a diferença entre as raízes reais e as raízes complexas em uma equação do segundo grau e como identificá-las através do discriminante.
13. (9 pontos) Resolva a equação (x^2 – 5x + 6 = 0) utilizando o método de fatoração. Discuta sua escolha em relação a outros métodos.
14. (7 pontos) Quais as aplicações reais da equação do segundo grau em situações cotidianas? Dê um exemplo e explique como ele se relaciona com a matemática.
15. (8 pontos) Se uma equação do segundo grau tem suas raízes iguais e é da forma (ax^2 + bx + c = 0). O que podemos afirmar sobre seu discriminante? Justifique sua resposta.
Gabarito
1. Resposta: Uma equação do segundo grau é um polinômio de grau dois, que pode ser representado na forma (ax^2 + bx + c = 0), onde (a neq 0).
2. Resposta: (2x^2 – 8 = 0 Rightarrow 2x^2 = 8 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = 2 text{ ou } x = -2).
3. Resposta: Usando Bhaskara: (D = 6^2 – 4 cdot 1 cdot 8 = 4). As raízes são (x = frac{-6 pm 2}{2} Rightarrow x_1 = -2, x_2 = -4).
4. Resposta: As raízes são (x = 1) e (x = 3). Num gráfico, elas são os pontos onde a parábola cruza o eixo (x).
5. Resposta: O discriminante (D = 4 – 12 = -8). Ele indica que não há raízes reais (raízes complexas).
6. Resposta: A equação pode ser fatorada como ((x+1)(x+1) = 0) resultando em (x = -1).
7. Resposta: O discriminante indica a natureza das raízes: negativo → complexas; zero → iguais; positivo → distintas.
8. Resposta: A altura máxima ocorre no vértice (t = -frac{b}{2a} = frac{15}{10} = 1.5). Calculando (h(1.5)): (h(1.5)= -5(1.5)^2 + 15(1.5) + 2 = 40.5).
9. Resposta: É classificada como quadrática devido ao grau do termo mais alto ser dois, resultando em um gráfico em forma de parábola.
10. Resposta: Aplicando Bhaskara: (D = 1 + 24 = 25). As raízes são (x = frac{-1 pm 5}{4} Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1.5).
11. Resposta: O máximo é encontrado ao calcular (x = frac{-b}{2a} = 3); Substituindo, (S(3) = 39).
12. Resposta: Raízes reais ocorrem quando (D geq 0) e complexas quando (D < 0).
13. Resposta: (x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) = 0), resultando em (x = 2) e (x = 3).
14. Resposta: Aplicações como a maximização de lucros em negócios; ex: lucro em parabólica.
15. Resposta: Se as raízes são iguais, o discriminante é (0), visto que (D = b^2 – 4ac = 0).
Total das questões: 100 pontos.
