“Prova de Logaritmos: Questões para o 1º Ano do Ensino Médio”
Tema: logaritimo
Etapa/Série: 1º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 6
Prova de Matemática – Logaritmo
Nível: 1º ano do Ensino Médio
Data: ___________
Nome do Aluno: ___________________________
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Instruções:
– Leia atentamente cada questão.
– Responda de forma clara e objetiva.
– Justifique suas respostas sempre que solicitado.
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Questões Dissertativas
Questão 1:
Explique o que é um logaritmo e apresente a relação que existe entre logaritmos e potências. Dê um exemplo para ilustrar sua resposta.
Questão 2:
Resolva a seguinte equação logarítmica:
[ log_2(x) + log_2(8) = 5 ]
Justifique cada passo de sua resolução.
Questão 3:
Um cientista está estudando o crescimento de uma bactéria que dobra de número a cada 3 horas. Se inicialmente havia 100 bactérias, escreva uma expressão logarítmica que represente a quantidade de bactérias após ( t ) horas. Em seguida, determine quantas bactérias existirão após 12 horas e aplique o logaritmo para achar o valor de ( t ) em que a população será de 800 bactérias.
Questão 4:
Explique a propriedade que afirma que ( log_a(m times n) = log_a(m) + log_a(n) ). Em seguida, dê um exemplo numérico utilizando essa propriedade.
Questão 5:
Um artista deseja aumentar a área de um painel quadrado, e ele sabe que a área ( A ) do painel é dada por ( A = lado^2 ). Ele decide que a nova área do painel deve ser 100 vezes maior que a área original. Escreva uma equação logarítmica que ajude a descobrir o quanto ele deve aumentar o lado do painel em relação ao lado original.
Questão 6:
Discuta a importância dos logaritmos em situações reais, como na área de acústica, escala Richter ou em funções exponenciais. Escolha um desses contextos e explique como os logaritmos são aplicados e qual a sua relevância.
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Gabarito
Questão 1:
O logaritmo é a operação que determina a potência à qual um número (base) deve ser elevado para se obter um determinado valor. A relação entre logaritmos e potências é expressa pela fórmula:
[ log_a(b) = c iff a^c = b ]
Por exemplo, ( log_2(8) = 3 ) porque ( 2^3 = 8 ).
Questão 2:
[
log_2(x) + log_2(8) = 5
]
Utilizando a propriedade: ( log_a(m) + log_a(n) = log_a(m times n) ):
[ log_2(8x) = 5 ]
Convertendo à forma exponencial:
[ 8x = 2^5 ]
[ 8x = 32 ]
[ x = frac{32}{8} = 4 ]
Assim, ( x = 4 ).
Questão 3:
A expressão logarítmica que representa a população de bactérias após ( t ) horas é:
[ P(t) = 100 times 2^{(t/3)} ]
Após 12 horas:
[ P(12) = 100 times 2^{(12/3)} = 100 times 2^4 = 100 times 16 = 1600 ]
Para ( P(t) = 800 ):
[ 100 times 2^{(t/3)} = 800 ]
[ 2^{(t/3)} = 8 ]
[ t/3 = 3 rightarrow t = 9 ]
Então, ( t = 9 ) horas.
Questão 4:
A propriedade ( log_a(m times n) = log_a(m) + log_a(n) ) indica que o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos. Exemplo:
Se ( m = 4 ) e ( n = 25 ), então:
[ log_{10}(100) = log_{10}(4) + log_{10}(25) ]
Com os valores:
[ log_{10}(100) = 2, log_{10}(4) approx 0.602, log_{10}(25) approx 1.398 quad rightarrow 0.602 + 1.398 approx 2]
Questão 5:
Para descobrir o aumento do lado do painel, deve-se igualar a nova área à nova área desejada:
[ lado_{nov}^2 = 100 times lado_{orig}^2 ]
Tomando logaritmos:
[ 2 cdot log(lado_{nov}) = 2 + log(lado_{orig}) ]
Logo:
[ log(lado_{nov}) = log(lado_{orig}) + 1 ]
Ou seja, o logaritmo ajuda na relação entre as áreas e os lados.
Questão 6:
Os logaritmos são fundamentais em acústica (decibéis), onde a escala logarítmica ajuda a medir a intensidade do som. Por exemplo, um aumento de 10 dB representa um aumento de 10 vezes na intensidade sonora. Eles também são cruciais na escala Richter, que mede a magnitude de terremotos de forma que cada unidade representa um aumento de 10 vezes na amplitude do tremor.
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Considere que cada questão avaliou a compreensão dos conceitos fundamentais e a capacidade de aplicá-los em contextos reais nas discussões apresentadas.
