“Prova Completa: Função do Segundo Grau para o 8º Ano”
Tema: função do segundo grau
Etapa/Série: 8º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 20
Prova de Matemática – Função do Segundo Grau
Nome: _____________________________
Data: ___/___/____
Turma: _______
Instruções:
1. Leia atentamente cada questão e responda com clareza.
2. Justifique suas respostas sempre que solicitado.
3. O uso de lápis e borracha não é permitido. Utilize caneta azul ou preta.
Questões:
1. Definição e Propriedades
Explique o que é uma função do segundo grau e quais são suas características principais.
2. Forma Geral
Uma função do segundo grau é representada na forma ( f(x) = ax^2 + bx + c ). Identifique os componentes ( a ), ( b ) e ( c ) e descreva o que cada um deles representa graficamente.
3. Gráfico da Função
Desenhe o gráfico de uma função do segundo grau com coeficientes ( a = 1 ), ( b = 0 ), ( c = -4 ). Após o desenho, descreva as principais características do gráfico, como vértice e concavidade.
4. Vértice da Parábola
Determine o vértice da função ( f(x) = 2x^2 – 8x + 5 ) e interprete o que esse ponto representa no contexto da função.
5. Raízes da Função
Encontre as raízes da função ( f(x) = x^2 – 6x + 9 ) e explique como você obteve estes valores.
6. Discriminante
Calcule o discriminante da função ( f(x) = 3x^2 – 12x + 12 ) e interprete os resultados quanto à natureza das raízes.
7. Aplicação Prática
Um objeto é lançado verticalmente para cima e sua altura em relação ao tempo é dada pela função ( h(t) = -5t^2 + 20t + 15 ). Determine o instante em que o objeto atinge a altura máxima e calcule essa altura.
8. Fatoração
Fatorar a função ( f(x) = x^2 – 5x + 6 ) e explique o que isso representa em termos de suas raízes.
9. Translação
Se a função ( g(x) = x^2 ) é deslocada 3 unidades para cima, qual será a nova equação da função? Discuta o impacto deste deslocamento sobre o gráfico.
10. Interpretação do Gráfico
Considere o gráfico da função ( f(x) = -x^2 + 4x – 3 ). Descreva o que significa a parte onde a curva encontra o eixo x.
11. Repetição de Raízes
Explique o que ocorre com as raízes da função quando o discriminante é igual a zero. Dê um exemplo de uma função do segundo grau onde isso acontece.
12. Sistema de Equações
Resolva o sistema de equações formado pelas funções ( f(x) = x^2 – 4x ) e ( g(x) = -x^2 + 4 ), encontrando seus pontos de intersecção.
13. Escalonamento em Gráficos
Se a função ( f(x) = 2x^2 ) tem seu gráfico escalonado verticalmente em uma razão de 2, qual será a nova função resultante e como isso afeta a largura da parábola?
14. Domínio e Imagem
Qual é o domínio e a imagem da função ( f(x) = -3x^2 + 6x + 2 )? Justifique suas respostas.
15. Teorema de Bhaskara
Usando a fórmula de Bhaskara, resolva a equação ( x^2 – 8x + 15 = 0 ) e discorra sobre a importância deste teorema na resolução de funções quadráticas.
16. Movimento Parabólico
Um carro é lançado em uma trajetória parabólica descrita pela função ( y = -0,5x^2 + 3x + 2 ). Quais são as coordenadas do ponto onde ele alcança a altura máxima?
17. Modelagem Matemática
Um projeto de esculturas utiliza a forma de uma parábola. Se o design da escultura é descrito pela função ( f(x) = -x^2 + 6x ), determine as dimensões máximas que a escultura pode ter em relação à base.
18. Comparação de Gráficos
Compare as funções ( f(x) = x^2 – 4 ) e ( g(x) = (x-2)^2 ) quanto a seu gráfico e localização no plano cartesiano. Quais são as semelhanças e diferenças?
19. Situação Problema
Um fabricante produziu um número de produtos determinado pela função quadrática ( P(x) = -2x^2 + 40x ). Determine o número de produtos que maximiza o lucro e justifique sua resposta.
20. Funções Compostas
Dada a função ( f(x) = x^2 + 1 ) e a função ( g(x) = x – 2 ), determine a função composta ( (f circ g)(x) ) e descreva seu comportamento gráfico.
Gabarito:
1. Função do segundo grau é uma função polinomial de grau 2, caracterizada pela forma ( f(x) = ax^2 + bx + c ). Suas características incluem a parábola resultante, que pode ser aberta para cima ou para baixo, dependendo do coeficiente ( a ).
2. ( a ) é o coeficiente que determina a concavidade da parábola; ( b ) é associado à inclinação da tangente à parábola; e ( c ) é a ordenada na origem.
3. O gráfico terá um vértice em (0, -4) e é uma parábola voltada para cima, simétrica em relação ao eixo y.
4. O vértice é encontrado por ( V(x) = -frac{b}{2a} ), levando a ( V(4, -3) ) e representa o ponto mais baixo da parábola.
5. As raízes são ( x = 3 ) (uma raiz), encontrada pela fatoração ou pela fórmula quadrática.
6. O discriminante é calculado como ( D = b^2 – 4ac ) e o resultado indicará uma raiz real, repetida.
7. O tempo ( t = 2 ) segundos e a altura máxima ( h(t) = 55 ) metros.
8. A fatoração resulta em ( (x-2)(x-3) ), indicando que as raízes são 2 e 3.
9. A nova função é ( g(x) = x^2 + 3 ). O gráfico se desloca verticalmente e mantém sua forma.
10. O encontro no eixo x indica os pontos onde ( f(x) = 0 ).
11. Quando ( D = 0 ), existe uma raiz dupla. Exemplo: ( f(x) = x^2 – 4x + 4 ).
12. As intersecções podem ser reduzidas para duas soluções.
13. A nova função é ( f(x) = 4x^2 ), comprimindo verticalmente.
14. O domínio é real e a imagem limitada ao intervalo superior respectivo.
15. Bhaskara fornece raízes como solução de funções quadráticas, considerando ( D ) positivo ou negativo.
16. A altura máxima (3, 5,5) é o ponto de máximo.
17. O ponto máximo representa o alcance máximo do lucro nos produtos.
18. Ambas as funções são parabólicas com vértices em diferentes locais.
19. O número de produtos do lucro máximo é 10.
20. A função composta ( (f circ g)(x) = (x – 2)^2 + 1 ).
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Essas questões e explicações foram montadas para cobrir aspectos teóricos e práticos da função do segundo grau, alinhando-se às diretrizes da BNCC para o 8º ano, promovendo o raciocínio crítico e a contextualização do conteúdo matemático.
