“Domine a Equação do 2º Grau: Provas e Análise Completa”
Tema: Equação do 2º Grau (incompletas e completas); • Análise das raízes de uma Equação do 2º grau; • Soma e produto das raízes de uma Equação do 2º grau; • Problemas envolvendo Equação do 2º Grau; • Equação Biquadrada
Etapa/Série: 9º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 16
Prova de Matemática – 9º Ano
Tema: Equação do 2º Grau e Análise das Raízes
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Instruções: Responda todas as questões a seguir. As questões são de múltipla escolha, verdadeiro ou falso, dissertativas e para completar. Mostre os cálculos quando necessário.
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Questões
1. (Múltipla Escolha) A forma geral de uma equação do 2º grau é:
a) ( ax + b = 0 )
b) ( ax^2 + bx + c = 0 )
c) ( ax^2 + b = 0 )
d) ( x + y = c )
2. (Verdadeiro ou Falso) A equação ( 2x^2 – 4 = 0 ) é uma equação do 2º grau incompleta.
3. (Dissertativa) Resolva a equação ( x^2 + 5x + 6 = 0 ) utilizando a fórmula de Bhaskara e encontre as raízes.
4. (Completar) Para a equação do 2º grau ( ax^2 + bx + c = 0 ), a soma das raízes é dada por ___________ e o produto das raízes é dado por ___________.
5. (Múltipla Escolha) Qual o valor do discriminante ( Delta ) da equação ( x^2 – 4x + 4 = 0 )?
a) 0
b) 4
c) -4
d) 8
6. (Verdadeiro ou Falso) Uma equação do 2º grau pode ter no máximo duas soluções reais.
7. (Dissertativa) Uma fábrica produz um modelo de caixa que custa ( 50 ) reais para produzir e vendê-la por ( 100 ) reais. Se a demanda ( d ) estiver relacionada ao preço ( p ) pela equação ( d = -2p^2 + 400 ), determine o preço que maximiza a demanda.
8. (Completar) A equação biquadrada é uma equação do tipo __________ que pode ser expressa como __________.
9. (Múltipla Escolha) As raízes da equação ( x^2 – x – 6 = 0 ) são:
a) ( 2 ) e ( -3 )
b) ( 3 ) e ( 2 )
c) ( -2 ) e ( 3 )
d) ( 1 ) e ( -6 )
10. (Verdadeiro ou Falso) Se o discriminante de uma equação do 2º grau é negativo, a equação não possui soluções reais.
11. (Dissertativa) Resolva a equação do 2º grau incompleta ( 4x^2 = 16 ) e determine a natureza das raízes.
12. (Completar) O produto das raízes de uma equação do 2º grau ( ax^2 + bx + c = 0 ) é dado por ___________.
13. (Múltipla Escolha) Qual das opções abaixo representa uma equação biquadrada?
a) ( x^4 – 5x^2 + 4 = 0 )
b) ( x^2 + 2x – 1 = 0 )
c) ( 3x^2 – 1 = 0 )
d) ( x^2 – 2 = 0 )
14. (Verdadeiro ou Falso) O gráfico da função quadrática sempre tem a forma de uma parábola.
15. (Dissertativa) Um projeto exige que a área de um terreno retangular seja representada pela equação ( A = x(20-x) ). Encontre as dimensões que maximizam a área.
16. (Múltipla Escolha) Em uma função quadrática, se o coeficiente ( a ) for negativo, a parábola será:
a) De côncavo para cima
b) De côncavo para baixo
c) Sempre positiva
d) Sempre negativa
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Gabarito
1. Resposta: b) ( ax^2 + bx + c = 0 )
Justificativa: Esta é a forma padrão da equação do 2º grau.
2. Resposta: Verdadeiro
Justificativa: Equações do 2º grau incompletas não possuem o termo linear ou constante.
3. Solução:
(Delta = b^2 – 4ac = 5^2 – 4 cdot 1 cdot 6 = 25 – 24 = 1)
As raízes são ( x = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a} = frac{-5 pm 1}{2}), ou seja, ( x_1 = -2 ) e ( x_2 = -3).
4. Respostas: -(frac{b}{a}) e (frac{c}{a})
Justificativa: Estas são as fórmulas para soma e produto das raízes.
5. Resposta: a) 0
Justificativa: (Delta = 0) indica uma raiz real dupla.
6. Resposta: Verdadeiro
Justificativa: Este é um dos princípios fundamentais sobre equações do 2º grau.
7. Solução: Para maximizar demanda ( d = -2p^2 + 400 ), ( p = -frac{b}{2a} = -frac{400}{-4} = 100 ) reais.
8. Respostas: do 4º grau, ( ax^4 + bx^2 + c = 0 )
Justificativa: Equação biquadrada é uma especialização da equação do 2º grau.
9. Resposta: a) ( 2 ) e ( -3 )
Justificativa: As raízes são ( (x-3)(x+2)=0 ).
10. Resposta: Verdadeiro
Justificativa: Discriminantes negativos resultam em raízes complexas.
11. Solução: ( 4x^2 = 16 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2 ) (duas raízes reais e simples).
12. Resposta: (frac{c}{a})
Justificativa: Essa é a relação entre as raízes.
13. Resposta: a) ( x^4 – 5x^2 + 4 = 0 )
Justificativa: Equação que pode ser reduzida a uma função quadrática.
14. Resposta: Verdadeiro
Justificativa: Funções quadráticas sempre têm gráfico em forma de parábola.
15. Solução: Ao resolver ( A = -x^2 + 20x ), encontramos o vértice ( x = 10 ) (dimensões: 10 m x 10 m).
16. Resposta: b) De côncavo para baixo
Justificativa: Coeficientes negativos de ( a ) invertem a direção da parábola.
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Esta prova é uma avaliação abrangente do entendimento das equações do 2º grau, considerando suas aplicações e propriedades matemáticas.
