“Desvende a Trigonometria do Triângulo Retângulo no 3º Ano”

Prova de Matemática: Trigonometria do Triângulo Retângulo

Aluno: ______________________

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Data: ______________________

Instruções:

Responda as questões a seguir. Utilize caneta azul ou preta e escreva de forma legível. Cada questão é dissertativa e deve conter explicações que demonstrem seu raciocínio e conhecimento sobre o tema.

Questão 1

Um arquiteto deseja calcular a altura de um prédio usando a trigonometria do triângulo retângulo. Ele se posiciona a 50 metros da base do prédio e observa que o ângulo de elevação até o topo do edifício é de 30 graus.

Descreva os passos que o arquiteto deve seguir para encontrar a altura do prédio. Inclua as fórmulas que você utilizaria e o cálculo final da altura.

Questão 2

Imagine que um engenheiro está projetando uma rampas de acesso a um edifício. Se a rampa forma um ângulo de 45 graus com o solo e a base da rampa mede 10 metros, calcule a altura que a rampa alcança em relação ao solo. Justifique sua resposta através da definição de funções trigonométricas e explique qual a importância de conhecer essa altura em projetos de engenharia.

Questão 3

Durante uma aula de Educação Física, um aluno está praticando saltos em altura. Para aumentar seu desempenho, ele precisa entender a relação entre o ângulo de partida de seu salto e a altura que consegue alcançar. Se o aluno salta formando um ângulo de 60 graus em relação ao solo e alcança uma altura máxima de 12 metros, utilize a relação da trigonometria no triângulo retângulo para determinar a distância horizontal que ele percorre até o ponto mais alto de seu salto. Comente sobre a relevância dessa análise para melhorar seu desempenho.

Gabarito

Questão 1

Resposta esperada:

O arquiteto deve primeiro desenhar um diagrama que represente a situação: um triângulo retângulo onde a base é a distância até o prédio (50 metros) e o ângulo de elevação é de 30 graus. A altura do prédio é o lado oposto ao ângulo.

Utilizando a relação da tangente:

tan(θ) = altura/base

Substituindo os valores:

tan(30°) = h / 50

Sabendo que tan(30°) = 1/√3 ≈ 0.577, temos:

0.577 = h / 50

Resolvendo para h:

h = 50 * 0.577 ≈ 28.85 m

A altura do prédio é aproximadamente 28,85 metros.

Questão 2

Resposta esperada:

A rampa forma um triângulo retângulo onde o ângulo de 45 graus implica que a altura (h) é igual à base (b). Sendo:

tan(45°) = h/b

Como tan(45°) = 1, podemos escrever:

1 = h/10

Assim, h = 10 metros. Conhecer essa altura é importante para garantir a acessibilidade e a segurança nos projetos de engenharia, assegurando que a rampa atenda aos padrões de inclinação e utilização.

Questão 3

Resposta esperada:

No triângulo formado pelo salto, temos o ângulo de 60 graus, a altura máxima de 12 metros é o lado oposto. A distância horizontal (d) é o lado adjacente. Usando a relação da tangente:

tan(60°) = altura/d

Sabemos que tan(60°) = √3. Assim:

√3 = 12/d

Resolvendo para d:

d = 12/√3 = 12*√3/3 ≈ 6.93 m

A distância horizontal que ele percorre até o ponto mais alto do salto é aproximadamente 6,93 metros. Essa análise ajuda a compreender como o ângulo de salto impacta a performance e como otimizar a técnica para alcançar melhores resultados.