“Desvendando Sistemas de Equações Lineares: Prova do 8º Ano”
Tema: Identificar as três possibilidades quanto a soluções de um sistema de equações lineares, utilizando o escalonamento: apresentar uma solução (sistema possível e determinado), infinitas soluções (sistema possível e indeterminado) ou nenhuma solução (sistema impossível
Etapa/Série: 8º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática – Sistema de Equações Lineares
Tema: Identificar as três possibilidades quanto a soluções de um sistema de equações lineares utilizando o escalonamento.
Ano: 8º ano
Instruções: Responda às questões a seguir de forma clara e objetiva. Utilize o espaço disponível e justifique suas respostas quando necessário.
—
Questões Dissertativas
1. Questão 1: (2 pontos)
Explique, com suas palavras, o que caracteriza um sistema de equações lineares possível e determinado. Dê um exemplo de sistema que se encaixe nessa definição e solucione-o.
—
2. Questão 2: (2 pontos)
O que é um sistema possível e indeterminado? Apresente um exemplo de um sistema de equações lineares que tenha infinitas soluções e justifique seu raciocínio.
—
3. Questão 3: (2 pontos)
Defina um sistema impossível em suas palavras e forneça um exemplo. Resolva o sistema e explique por que não há solução.
—
4. Questão 4: (3 pontos)
Dado o sistema de equações a seguir:
( 2x + 3y = 6 )
( 4x + 6y = 12 )
Utilize o método de escalonamento para determinar a classificação do sistema e justifique sua resposta.
—
5. Questão 5: (3 pontos)
Analise o seguinte sistema de equações:
( x – y = 4 )
( 2x – 2y = 8 )
Verifique por meio do escalonamento se o sistema é possível e indeterminado. Qual é a solução geral desse sistema?
—
6. Questão 6: (3 pontos)
Considere as equações:
( 3x + 4y = 10 )
( 6x + 8y = 5 )
A partir do escalonamento, determine se o sistema é impossível. Justifique por que não existe solução.
—
7. Questão 7: (2 pontos)
Como o método de escalonamento pode ser útil ao resolver sistemas de equações lineares? Comente sobre suas vantagens.
—
8. Questão 8: (3 pontos)
Se um sistema de equações lineares possui a forma:
( ax + by = c )
( k(ax + by) = d )
O que se pode concluir sobre este sistema? Classifique-o e explique por quê.
—
9. Questão 9: (3 pontos)
Em um gráfico de duas equações lineares, quando as retas se cruzam em um único ponto, qual a classificação do sistema? Caso as retas sejam paralelas, qual a classificação e o que isso implica? Explique a importância disso em aplicações práticas.
—
10. Questão 10: (4 pontos)
Para o seguinte sistema:
( x + y = 7 )
( 2x + 3y = 12 )
Utilize o método de escalonamento para resolver e classificar esse sistema. Justifique seus passos e resultados.
—
Gabarito
1. Resposta: Um sistema é considerado possível e determinado quando possui uma única solução, ou seja, o plano traçado pelas equações se intercepta em um único ponto. Exemplo: ( x + y = 3 ) e ( x – y = 1 ); solução: ( x = 2, y = 1 ).
2. Resposta: Um sistema possível e indeterminado tem infinitas soluções, normalmente quando as equações representam a mesma reta. Exemplo: ( 2x + 4y = 8 ) e ( x + 2y = 4 ); as duas são a mesma reta.
3. Resposta: Um sistema impossível ocorre quando não há soluções possíveis, geralmente porque as retas são paralelas. Exemplo: ( x + y = 2 ) e ( x + y = 5 ) não se cruzam.
4. Resposta: O sistema é possível e indeterminado, já que a segunda equação é um múltiplo da primeira. Isso gera uma reta sobreposta. As soluções são infinitas.
5. Resposta: O sistema é possível e indeterminado porque as equações representam a mesma reta. A solução geral é ( x = t + 4 ) e ( y = 3 – t ), onde ( t ) é um parâmetro.
6. Resposta: O sistema é impossível, pois após escalonamento, se chega à equação (0 = -5), que é uma contradição. Portanto, não há soluções.
7. Resposta: O escalonamento é útil porque simplifica as equações, facilitando a identificação da possibilidade e o cálculo das soluções. É uma ferramenta sistemática.
8. Resposta: O sistema é indeterminado quando (k) = 1, pois as duas equações são equivalentes. Se (k) ≠ 1, o sistema é impossível.
9. Resposta: Quando as retas se cruzam em um único ponto, o sistema é possível e determinado. Se paralelo, é impossível, significando que não há interação ou solução.
10. Resposta: Após o escalonamento, o sistema resulta em: (x = 2) e (y = 5). Classificação: possível e determinado, pois intersecção em um ponto revela uma única solução.
—
Considerações Finais: Esta prova busca avaliar a compreensão dos alunos sobre sistemas de equações lineares, estimulando desde conceitos básicos até o raciocínio crítico em situações práticas. As respostas devem refletir não apenas o conhecimento técnico, mas também a capacidade de articular o que foi aprendido com suas implicações no cotidiano.
