Desvendando Determinantes: Prova de Matemática 2×2 e 3×3
Tema: Determinate 2×2 e 3×3
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática e suas Tecnologias
Questões: 20
Prova de Matemática: Determinantes 2×2 e 3×3
Duração: 2 horas
Instruções:
- Leia atentamente cada questão.
- Escolha a alternativa correta e marque-a.
- Desconsidere as questões em branco.
Questões:
- Qual é a definição de determinante de uma matriz?
- A) O produto da soma de todos os elementos da matriz.
- B) Um número escalar que representa a área ou volume gerados por vetores que representam as linhas ou colunas da matriz.
- C) A soma dos elementos da matriz.
- D) A média dos elementos da matriz.
- Calcule o determinante da matriz:
( A = begin{pmatrix} 2 & 3 \ 1 & 4 end{pmatrix} ).
- A) 10
- B) 5
- C) 4
- D) 6
- Qual é a fórmula para calcular o determinante de uma matriz 2×2?
- A) ( ad + bc )
- B) ( ad – bc )
- C) ( ac – bd )
- D) ( ab + cd )
- Para a matriz ( B = begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \ 4 & 3 & 2 \ 2 & 1 & 4 end{pmatrix} ), qual é o valor do determinante?
- A) 25
- B) 10
- C) 12
- D) 0
- O que acontece com o determinante se trocarmos duas linhas de uma matriz?
- A) O determinante permanece o mesmo.
- B) O determinante se torna o oposto do valor anterior.
- C) O determinante se torna zero.
- D) O determinante quadruplica.
- Qual dos seguintes conjuntos representa as propriedades dos determinantes?
- A) Simetria, linearidade, aditividade.
- B) Linearidade, troca de linhas, multiplicação por escalar.
- C) Aditividade, multiplicação, simetria.
- D) Todos os elementos são negativos.
- Calcule o determinante da matriz:
( C = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 4 \ 5 & 6 & 0 end{pmatrix} ).
- A) 18
- B) -18
- C) 24
- D) 12
- Para que o determinante de uma matriz quadrada 3×3 seja igual a zero, o que isso implica?
- A) As linhas são linearmente dependentes.
- B) A matriz é invertível.
- C) O determinante não pode ser calculado.
- D) As colunas da matriz são todas diferentes.
- Qual é o determinante da seguinte matriz ( D = begin{pmatrix} -3 & 1 \ 2 & 4 end{pmatrix} )?
- A) -12
- B) 10
- C) -8
- D) 5
- Se uma matriz ( A ) possui determinante igual a 0, qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
- A) Apenas uma linha é linearmente independente.
- B) A matriz é singular e não pode ser invertida.
- C) O determinante é sempre negativo.
- D) O determinante é positivo.
- Calcule o determinante da matriz:
( E = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{pmatrix} ).
- A) 3
- B) 0
- C) 6
- D) 1
- Qual dos métodos pode ser usado para calcular o determinante de uma matriz 3×3?
- A) Método de Sarrus
- B) Método da Regra de Cramer
- C) Método da Transposição
- D) Método de Eliminação de Gauss
- Sabendo que o determinante de uma matriz é 3, qual é o determinante da matriz obtida ao multiplicar todos os elementos da matriz original por 2?
- A) 6
- B) 12
- C) 24
- D) 18
- Para a matriz ( F = begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 5 & 0 & 1 \ 2 & 3 & -1 end{pmatrix} ), determine o determinante e classifique-o.
- A) 0, singular
- B) -24, não singular
- C) 24, não singular
- D) 12, não singular
- Qual é a perspectiva geométrica do determinante em relação a matrizes 2×2?
- A) Representa a área do paralelogramo formado por vetores.
- B) Representa apenas o volume em três dimensões.
- C) Não tem relação com aspectos geométricos.
- D) Representa a soma das áreas das parcelas da matriz.
- Se a matriz ( G = begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 2 & 1 & 0 end{pmatrix} ) tiver determinante positivo, que pode ser inferido sobre suas colunas?
- A) As colunas são lineares dependentes.
- B) As colunas são linearmente independentes.
- C) A matriz é inversível.
- D) Ambas as alternativas B e C estão corretas.
- Calcule rapidamente o determinante da matriz de identidade ( I_3 = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} ).
- A) 0
- B) 1
- C) -1
- D) 3
Gabarito:
- B – O determinante é um número que mede áreas ou volumes formados pelas linhas ou colunas da matriz.
- A – ( 2*4 – 1*3 = 8 – 3 = 5 ).
- B – A fórmula é ( ad – bc ). Para ( A = begin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} ), o determinante é ( ad – bc ).
- A – O determinante ( |B| = 5(3*4 – 2*1
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