Desvendando a Trigonometria: Prova para 1º Ano do Ensino Médio
Tema: Trigonometria
Etapa/Série: 1º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 4
Prova de Matemática – 1º Ano do Ensino Médio
Tema: Trigonometria
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Questões Dissertativas:
#### Questão 1: Introdução à Trigonometria
A trigonometria é uma parte fundamental da matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos. Considerando um triângulo retângulo onde um dos ângulos agudos mede 30 graus, identifique as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) desse ângulo.
Resposta:
Apresente o valor das razões trigonométricas e explique como você chegou a esse resultado.
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#### Questão 2: Aplicação das Razões Trigonométricas
Um engenheiro precisa calcular a altura de um edifício. Para isso, ele mediu a distância do ponto de observação até a base do edifício e obteve 50 metros. Ele também mediu o ângulo de elevação até o topo do edifício e obteve 45 graus. Utilizando a razão tangente, calcule a altura do edifício.
Resposta:
Explique como você usou a razão tangente para encontrar a altura e forneça o cálculo detalhado.
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#### Questão 3: Análise e Propriedades do Círculo Unitário
O círculo unitário é uma ferramenta importante em trigonometria. Descreva o que é o círculo unitário e como ele pode ser utilizado para encontrar os valores do seno e cosseno de ângulos notáveis (como 0°, 30°, 45° e 60°). Faça uma tabela com esses valores.
Resposta:
Apresente a descrição do círculo unitário e a tabela com os valores solicitados.
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#### Questão 4: Raciocínio Crítico com Grafos Trigonométricos
Os gráficos das funções seno e cosseno apresentam propriedades interessantes, como periodicidade e amplitude. Descreva as principais características do gráfico de y = sen(x) e de y = cos(x). Em seguida, compare as duas funções, identificando suas similaridades e diferenças.
Resposta:
Elabore uma análise crítica sobre as funções e seus gráficos, detalhando as características gerais e individuais.
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Gabarito Detalhado
#### Questão 1:
– Seno de 30°: 1/2
– Cosseno de 30°: √3/2
– Tangente de 30°: 1/√3 ou √3/3
Justificativa: As razões foram obtidas utilizando os valores conhecidos para ângulos notáveis no triângulo retângulo. O seno é o cateto oposto dividido pela hipotenusa, o cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa e a tangente é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente.
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#### Questão 2:
– Fórmula da Tangente: ( tan(theta) = frac{text{altura}}{text{distância}} )
– Para 45°, ( tan(45°) = 1 ), portanto:
[
1 = frac{h}{50} implies h = 50 text{ metros}
]
Justificativa: Usamos a definição da tangente para encontrar a altura do edifício em função do ângulo de elevação e da distância do ponto de observação.
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#### Questão 3:
– Círculo Unitário: É um círculo de raio 1 centrado na origem do plano cartesiano. Os valores do seno e cosseno são obtidos a partir das projeções nos eixos x e y do círculo.
– Tabela dos ângulos notáveis:
– 0°: (cos, sen) = (1, 0)
– 30°: (cos, sen) = (√3/2, 1/2)
– 45°: (cos, sen) = (√2/2, √2/2)
– 60°: (cos, sen) = (1/2, √3/2)
Justificativa: A tabela apresenta os valores fundamentais que podem ser usados em diversos problemas de trigonometria, especialmente em triângulos retângulos.
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#### Questão 4:
– Gráfico de y = sen(x):
– Amplitude: 1
– Periodicidade: 2π
– Início em (0,0), cruza o eixo x a cada π.
– Gráfico de y = cos(x):
– Amplitude: 1
– Periodicidade: 2π
– Início em (0,1), cruza o eixo x em (π/2, 0).
Comparação: Ambos têm a mesma amplitude e periodicidade, mas os gráficos são deslocados entre si. O seno começa em zero, enquanto o cosseno começa no seu valor máximo.
Justificativa: A análise permite perceber a relação entre as funções trigonométricas e suas representações gráficas, fundamentais para a compreensão de fenômenos periódicos e aplicações práticas.
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Essa estrutura proporciona uma avaliação abrangente do conhecimento em trigonometria para alunos do 1º ano, estimulando tanto a compreensão quanto a aplicação prática do assunto.