“Desvendando a Matriz Inversa: Prova de Matemática 3º Ano”
Tema: matriz inversa
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática – 3º Ano do Ensino Médio
Tema: Matriz Inversa
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Questões
1. (Múltipla Escolha)
Dada a matriz ( A = begin{pmatrix} 2 & 3 \ 1 & 4 end{pmatrix} ), qual é a condição necessária para que a matriz ( A ) tenha uma matriz inversa?
A) O determinante deve ser igual a zero.
B) O determinante deve ser diferente de zero.
C) A soma dos elementos deve ser igual a 1.
D) A matriz deve ser simétrica.
2. (Valor Verdadeiro ou Falso)
Uma matriz quadrada sempre possui uma matriz inversa se for uma matriz diagonal.
( ) Verdadeiro
( ) Falso
3. (Dissertativa)
Explique o que é uma matriz inversa e sua importância nas soluções de sistemas lineares.
4. (Completar a frase)
A matriz inversa de uma matriz ( A ) é denotada por ( A^{-1} ) e satisfaz a propriedade ( A times A^{-1} = ____. )
5. (Múltipla Escolha)
Qual a matriz inversa de ( B = begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 end{pmatrix} )?
A) ( B^{-1} = begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix} )
B) ( B^{-1} = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} )
C) ( B^{-1} = B )
D) Não existe matriz inversa para ( B )
6. (Múltipla Escolha)
Qual das seguintes afirmativas é verdadeira sobre a matriz inversa?
A) Uma matriz pode ter no máximo uma inversa.
B) Todos os determinantes de uma matriz inversa são iguais a zero.
C) A matriz inversa de uma matriz não quadrada é sempre uma matriz quadrada.
D) Uma matriz inversa de ordem maior que 2 não possui propriedades especiais.
7. (Dissertativa)
Calcule a matriz inversa de ( C = begin{pmatrix} 4 & 7 \ 2 & 6 end{pmatrix} ) e explique os passos necessários para encontrá-la.
8. (Completar a frase)
Para calcular o determinante de uma matriz ( 2 times 2 ), utilizamos a fórmula: ( text{det}(A) = ____ ).
9. (Múltipla Escolha)
Considere as matrizes ( A = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix} ) e ( B = begin{pmatrix} 4 & 3 \ 2 & 1 end{pmatrix} ). Qual é o produto ( A times B^{-1} ) se ( B^{-1} ) existir?
A) ( begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} )
B) ( begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix} )
C) Não é possível calcular ( A times B^{-1} )
D) ( begin{pmatrix} -2 & 3 \ 2 & -1 end{pmatrix} )
10. (Dissertativa)
Qual a relação entre as matrizes ( A ) e ( A^{-1} ) e como essa relação pode ser utilizada em transformações lineares?
Gabarito
1. B
Justificativa: Para que uma matriz ( A ) tenha uma matriz inversa, seu determinante deve ser diferente de zero; caso contrário, a matriz é considerada singular e não inversível.
2. Falso
Justificativa: Uma matriz diagonal só possui matriz inversa se todos os elementos da diagonal forem diferentes de zero.
3. Resposta esperada:
A matriz inversa é uma matriz que, quando multiplicada pela matriz original, resulta na matriz identidade. A inversa é importante na resolução de sistemas lineares, pois permite encontrar soluções únicas quando a matriz dos coeficientes é invertível.
4. A matriz identidade
Justificativa: ( A times A^{-1} = I ), onde ( I ) é a matriz identidade.
5. A
Justificativa: A matriz inversa de ( B ) é ( begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix} ), que pode ser verificada pela multiplicação que resulta na matriz identidade.
6. A
Justificativa: Uma matriz pode ter no máximo uma inversa, pois se dois matrizes são inversas uma da outra, elas devem ser iguais.
7. (Resposta dissertativa esperada)
Para encontrar a inversa de ( C ), calculamos o determinante, que é ( text{det}(C) = 4*6 – 2*7 = 24 – 14 = 10 ). A fórmula da matriz inversa para ( 2 times 2 ) é ( frac{1}{text{det}(C)} begin{pmatrix} d & -b \ -c & a end{pmatrix} ), então ( C^{-1} = frac{1}{10} begin{pmatrix} 6 & -7 \ -2 & 4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \ -0.2 & 0.4 end{pmatrix} ).
8. ( ad – bc )
Justificativa: O determinante de uma matriz ( 2 times 2 ) é calculado da forma ( text{det}(A) = a cdot d – b cdot c ), onde a matriz é ( begin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} ).
9. C
Justificativa: Para o cálculo do produto ( A times B^{-1} ) é necessário que ( B ) seja invertível, o que não pode ser determinável imediatamente sem calcular o determinante.
10. (Resposta dissertativa esperada)
As matrizes ( A ) e ( A^{-1} ) estão relacionadas pela propriedade de que sua multiplicação resulta na matriz identidade, indicando que a aplicação de uma transformação linear seguida de sua inversa recupera o vetor original. Esta propriedade é usada em diversas áreas, como computação gráfica e resolução de equações diferenciais.
