Desvendando a Função Exponencial: Prova de Matemática 2º Ano
Tema: FUNÇÃO EXPONENCIAL
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 4
Prova de Matemática – Função Exponencial
2º ano – Ensino Médio
Instruções: Responda às questões a seguir de forma clara e objetiva. As respostas devem demonstrar entendimento dos conceitos de Função Exponencial. Utilize exemplos quando achar necessário. A prova compõe-se de quatro questões dissertativas.
Questão 1
Defina o que é uma função exponencial e apresente suas principais características.
*Discuta a forma geral da função, seus gráficos e comportamentos assintóticos.*
Questão 2
Uma população de bactérias cresce segundo a função ( P(t) = 500 cdot 2^{t} ), onde ( P(t) ) é a população em milhares e ( t ) é o tempo em horas. Calcule a população após 3 horas e explique o que cada parte da função representa no contexto da situação. Discuta o crescimento observado e o impacto que isso pode ter em um ambiente restrito.
Questão 3
Considere a função ( f(x) = 3 cdot 5^{x} ). Determine os pontos de interseção dessa função com a reta ( y = 100 ). Realize a análise do comportamento da função em relação ao aumento de ( x ) e o que isso indica sobre crescimento exponencial.
Questão 4
Em um investimento financeiro, o capital inicial é de R$ 1.000,00 e cresce a uma taxa de 10% ao ano, modelado pela função ( C(t) = 1000 cdot (1,1)^{t} ), onde ( C(t) ) representa o capital acumulado após ( t ) anos. Calcule o capital acumulado após 5 anos. Discuta a importância de entender funções exponenciais no contexto financeiro e suas implicações para decisões de investimento.
Gabarito
Questão 1
Resposta: A função exponencial tem a forma geral ( f(x) = a cdot b^{x} ), onde ( a ) é uma constante real (diferente de zero) e ( b ) é a base, um número positivo diferente de 1. As principais características incluem:
– Crescimento ou decrescimento rápido (dependendo se ( b > 1 ) ou ( 0 < b < 1 )).
– O gráfico apresenta uma assíntota horizontal em ( y = 0 ), indicando que a função nunca alcança zero.
– Para ( b > 1 ), a função é crescente; para ( 0 < b < 1 ), é decrescente.
Questão 2
Resposta: Para calcular a população após 3 horas:
( P(3) = 500 cdot 2^{3} = 500 cdot 8 = 4000 ) (ou seja, 4000 bactérias).
Na função ( P(t) = 500 cdot 2^{t} ):
– O coeficiente ( 500 ) representa a população inicial de 500 bactérias.
– A base ( 2 ) indica que a população dobra a cada hora.
Isso indica um crescimento exponencial. Em um ambiente restrito, a rápida multiplicação das bactérias pode levar à superpopulação e esgotamento de recursos.
Questão 3
Resposta: Para encontrar os pontos de interseção de ( f(x) = 3 cdot 5^{x} ) com a reta ( y = 100 ):
[ 3 cdot 5^{x} = 100 ]
[ 5^{x} = frac{100}{3} ]
Tomando o logaritmo na base 5 de ambos os lados:
[ x = log_{5}left(frac{100}{3}right) approx 2,09. ]
A função cresce exponencialmente com o aumento de ( x ), dando a entender que há um aumento rápido no valor de ( f(x) ) em comparação ao crescimento linear.
Questão 4
Resposta: Para calcular o capital acumulado após 5 anos:
( C(5) = 1000 cdot (1,1)^{5} approx 1000 cdot 1,61051 approx 1610,51 ).
Entender funções exponenciais no contexto financeiro é crucial, pois permite calcular o crescimento do investimento ao longo do tempo, ajudando assim nas tomadas de decisão financeiras, como a escolha entre diferentes opções de investimento e a noção de como juros compostos afetam o capital ao longo dos anos.
