Desvendando a Equação de 2° Grau: Prova Completa para 9º Ano
Tema: equação de 2° grau
Etapa/Série: 9º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática – 9º Ano
Tema: Equação de 2° grau
Instruções: Responda às 10 questões abaixo. Você deve justificar suas respostas de maneira clara e detalhada. Utilize caneta preta ou azul e escreva suas respostas de forma legível.
Questões:
1. (2 pontos) Defina o que é uma equação de 2° grau. Cite a forma geral dessa equação e explique o significado de cada um dos seus termos.
2. (2 pontos) Resolva a seguinte equação de 2° grau pelo método da fatoração: (x^2 – 5x + 6 = 0). Mostre todos os passos da resolução e verifique a sua resposta.
3. (2 pontos) Utilize a fórmula de Bhaskara para resolver a equação (2x^2 – 4x – 6 = 0). Insira todos os valores na fórmula e calcule as raízes da equação.
4. (2 pontos) Uma parábola é representada pela equação (y = x^2 – 4x + 3). Determine as coordenadas do vértice dessa parábola e explique seu significado em relação à equação de 2° grau.
5. (2 pontos) Compare e contraponha as duas técnicas que podem ser usadas para resolver uma equação de 2° grau: fatoração e uso da fórmula de Bhaskara. Em qual situação você acha que é mais vantajoso usar cada uma delas e por quê?
6. (2 pontos) Dada a equação (3x^2 + 12 = 0), discorra sobre a possibilidade de encontrar soluções reais. Justifique sua resposta utilizando o discriminante.
7. (2 pontos) Elabore um problema do cotidiano que possa ser expresso como uma equação de 2° grau. Depois, resolva a equação que você criou e explique a interpretação do resultado no contexto do seu problema.
8. (2 pontos) Uma bola é lançada para cima e o seu movimento é descrito pela equação (h(t) = -16t^2 + 64t), onde (h) é a altura em metros e (t) o tempo em segundos. Determine em que momento a bola atinge o solo, ou seja, quando a altura (h(t) = 0).
9. (2 pontos) A soma e o produto das raízes de uma equação de 2° grau podem ser relacionados aos coeficientes da equação. Explique como usar essas relações para resolver a equação (x^2 – 7x + 10 = 0) sem precisar encontrá-la diretamente.
10. (2 pontos) Discuta a importância das equações de 2° grau na resolução de problemas práticos na física, engenharia ou economia. Dê um exemplo concreto de uma aplicação.
Gabarito e Justificativas:
1. Definição de Equação de 2° grau:
Resposta esperada: Uma equação de 2° grau é uma equação polinomial na forma (ax^2 + bx + c = 0), onde (a), (b) e (c) são constantes, (a neq 0). O coeficiente (a) é responsável pela curvatura da parábola, (b) influencia a inclinação, e (c) é a interseção com o eixo (y).
2. Resolução por Fatoração:
Resposta esperada:
(x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) = 0)
As raízes são (x = 2) e (x = 3). Verificação: substituindo (x) por 2 e 3, a equação é satisfeita.
3. Fórmula de Bhaskara:
Resposta esperada: Usando a fórmula (x = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}), onde (Delta = b^2 – 4ac = 16 + 48 = 64). Assim:
(x = frac{4 pm 8}{4}), que resulta em (x = 3) e (x = -1).
4. Coordenadas do Vértice:
Resposta esperada: O vértice da parábola pode ser encontrado em (x = -frac{b}{2a}). Portanto, (x = 2), e substituindo na equação (y) resultará em (y = -1). O ponto (2, -1) é o mínimo da parábola.
5. Comparação de Métodos:
Resposta esperada: A fatoração é ideal quando a equação pode ser escrita como produto de binômios, enquanto a fórmula de Bhaskara é mais prática para equações complexas ou quando não é fácil fatorar.
6. Possibilidade de Soluções Reais:
Resposta esperada: Para a equação (3x^2 + 12 = 0), (Delta = 0 – 4(3)(12) < 0). Portanto, não existem soluções reais.
7. Problema do Cotidiano:
Resposta esperada: Exemplo: “Um terreno retangular foi vendido por R$ 2000,00. O comprimento é 5 metros a mais que a largura, que é (x) metros. A equação pode ser (x(x + 5) = 2000). Resolver: (x^2 + 5x – 2000 = 0). Resolução mostra a largura real do terreno.”
8. Momento que a bola atinge o solo:
Resposta esperada: Aqui, resolvemos (h(t) = -16t^2 + 64t = 0). Fatorando, temos (t(-16t + 64) = 0), portanto, (t = 0) ou (t = 4) segundos.
9. Soma e Produto das Raízes:
Resposta esperada: Para (x^2 – 7x + 10 = 0), a soma das raízes é 7 e o produto é 10. A partir disso, podemos concluir que as raízes são (5) e (2), que satisfazem tanto a soma quanto o produto dados.
10. Importância na Prática:
Resposta esperada: Equações de 2° grau são fundamentais, por exemplo, em cálculos de trajectórias na física (como o movimento de um projétil). Um exemplo é a determinação do tempo que leva um objeto a atingir o solo.
Assim, essa estrutura de prova abrange questões de nível variado e permite a exploração do conceito de equação de 2° grau de forma articulada e significativa.
