“Descubra Seno e Cosseno: Desafios de Matemática para o 9º Ano!”
Tema: 01: Preencha a tabela com os valores de seno e cosseno para os ângulos indicados e, utilizando os valores da tabela, determine o valor da hipotenusa do triângulo.
Etapa/Série: 9º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 4
Prova de Matemática – 9º Ano
Tema: Seno e Cosseno em Triângulos Retângulos
Instruções: Responda às quatro questões a seguir de forma completa. Utilize os conceitos de seno e cosseno para resolver os problemas. Certifique-se de justificar suas respostas quando solicitado.
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Questão 1: Preenchendo a Tabela de Seno e Cosseno
Considere os ângulos de 0°, 30°, 45°, 60° e 90°. Preencha a tabela abaixo com os valores de seno e cosseno correspondentes a cada ângulo.
| Ângulo (°) | Seno | Cosseno |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 30 | ||
| 45 | ||
| 60 | ||
| 90 |
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Questão 2: Aplicando Seno e Cosseno
Um triângulo retângulo possui um dos ângulos de 30° e a medida do cateto oposto a esse ângulo é de 5 cm. Utilizando os valores da tabela preenchida na Questão 1, determine a medida da hipotenusa desse triângulo.
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Questão 3: Desafio com Triângulos Retângulos
Um arquiteto deseja construir uma rampa para acessibilidade. Sabendo que o ângulo de inclinação da rampa é de 45° e que o comprimento do cateto adjacente à rampa é de 8 m, determine a medida da hipotenusa e a altura da rampa, usando os conceitos de seno e cosseno.
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Questão 4: Análise Crítica da Aplicação dos Conceitos em Situações Reais
Explique a importância dos conceitos de seno e cosseno na engenharia e na arquitetura. Dê um exemplo prático de como esses conceitos podem ser aplicados no dia a dia ao projetar estruturas. Em sua resposta, mencione como a determinação da hipotenusa pode influenciar a segurança e eficiência das construções.
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Gabarito
Questão 1:
| Ângulo (°) | Seno | Cosseno |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 30 | 1/2 | √3/2 |
| 45 | √2/2 | √2/2 |
| 60 | √3/2 | 1/2 |
| 90 | 1 | 0 |
Justificativa da Questão 1:
Os valores de seno e cosseno são bem conhecidos em trigonometria e cada ângulo possui um valor específico que pode ser utilizado na resolução de triângulos.
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Questão 2:
A hipotenusa (h) do triângulo pode ser encontrada utilizando o seno do ângulo de 30°:
sin(30°) = cateto oposto/hipotenusa => 1/2 = 5/h
Logo, h = 5 * 2 = 10 cm.
Justificativa da Questão 2:
Aqui, utilizamos a definição do seno em um triângulo retângulo para relacionar os lados do triângulo. A medida de 10 cm confirma que o comprimento da hipotenusa é o dobro do cateto oposto a um ângulo de 30°.
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Questão 3:
Pelo cosseno de 45°:
cos(45°) = cateto adjacente/hipotenusa => √2/2 = 8/h
Logo, h = 8 * √2 = 8√2 m (aproximadamente 11.31 m).
Para a altura (h) da rampa, usamos o seno de 45°:
sin(45°) = cateto oposto/hipotenusa => √2/2 = h/8√2
Portanto, h = 8 m.
Justificativa da Questão 3:
Neste exercício, aplicamos os conceitos de seno e cosseno para solucionar alturas e distâncias reais. O triângulo retângulo formado é fundamental para compreender como as rampas funcionam em termos de segurança.
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Questão 4:
A aplicabilidade dos conceitos de seno e cosseno é crucial em diversas áreas da engenharia e arquitetura. Por exemplo, em projetos de pontes, essas funções ajudam a determinar ângulos de inclinação e segurança estrutural. A medição correta da hipotenusa é vital para garantir a integridade da estrutura e facilitar a construção.
Justificativa da Questão 4:
Os conceitos de seno e cosseno garantem que construções sejam feitas de forma segura e eficiente, permitindo que engenheiros criem estruturas estáveis e funcionais.
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