“Soma de Termos: Prova de Matemática para 1º Ano do Ensino Médio”
Tema: soma dos termos de uma progressão geométrica e aritmética
Etapa/Série: 1º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática – 1º Ano do Ensino Médio
Tema: Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica e Aritmética
Instruções:
– Leia cada questão com atenção.
– Responda de forma clara e concisa.
– Para as questões dissertativas, justifique suas respostas.
—
##
Questões:
Questão 1 – Múltipla escolha (1 ponto)
A soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética (PA) pode ser calculada pela fórmula:
A) ( S_n = a_1 + (n – 1) cdot r )
B) ( S_n = frac{n}{2} cdot (a_1 + a_n) )
C) ( S_n = a_1 cdot r^n )
D) ( S_n = frac{a_1 + d}{n} )
Questão 2 – Verdadeiro ou Falso (1 ponto)
A soma dos termos de uma Progressão Geométrica (PG) é dada pela igual formula, independente de ser finita ou infinita.
Questão 3 – Completar a frase (2 pontos)
A soma dos n primeiros termos de uma PG, onde ( a_1 ) é o primeiro termo e ( r ) é a razão, pode ser expressa como ________, para ( r neq 1 ).
Questão 4 – Dissertativa (3 pontos)
Um professor tem um plano de aulas com os seguintes números de aulas à disposição, que formam uma PA: 10, 12, 14, 16, … e assim por diante. Se ele planeja dar 15 aulas, qual será a soma total dessas aulas? Explique passo a passo como você chegou ao resultado.
Questão 5 – Múltipla escolha (1 ponto)
Se a soma dos 5 primeiros termos de uma PA é 50 e o primeiro termo é 5, qual é a razão dessa PA?
A) 5
B) 10
C) 2
D) 3
Questão 6 – Verdadeiro ou Falso (1 ponto)
Se uma PG possui uma razão positiva, a soma dos seus termos será sempre maior que zero.
Questão 7 – Dissertativa (3 pontos)
Dada a PG: 3, 12, 48, … Calcule a soma dos 5 primeiros termos e justifique seu raciocínio.
Questão 8 – Completar a frase (2 pontos)
A soma dos termos de uma PG infinita onde ( |r| < 1 ) é representada por ________ e a fórmula é ________.
Questão 9 – Múltipla escolha (1 ponto)
Qual é a soma dos 7 primeiros termos da PA cujos termos são: 1, 3, 5, 7, …
A) 28
B) 25
C) 21
D) 35
Questão 10 – Dissertativa (3 pontos)
Explique a diferença entre as somas de uma PA e de uma PG. Quais são as aplicações práticas dessas somas em situações cotidianas? Utilize exemplos para fundamentar sua resposta.
—
Gabarito Detalhado
Questão 1: B – A fórmula correta para a soma dos n primeiros termos de uma PA é ( S_n = frac{n}{2} cdot (a_1 + a_n) ).
Questão 2: Falso – A fórmula para a soma de uma PG infinita e uma PG finita são diferentes.
Questão 3: ( S_n = a_1 cdot frac{1 – r^n}{1 – r} ) – Esta fórmula é válida apenas quando ( r neq 1 ).
Questão 4:
Primeiro, identificamos os termos: ( a_1 = 10 ), ( d = 2 ) e ( n = 15 ).
Utilizando a fórmula ( S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n – 1)d) ):
( S_{15} = frac{15}{2} (2(10) + (15 – 1)2) = frac{15}{2} (20 + 28) = frac{15}{2} cdot 48 = 15 cdot 24 = 360 ).
Questão 5: C – A razão da PA pode ser encontrada usando ( S_5 = frac{5}{2} (2a_1 + 4d) = 50 ). Substituindo ( a_1 = 5 ):
( 50 = frac{5}{2} (2(5) + 4d) ) resolve-se para d = 2.
Questão 6: Falso – Uma PG com uma razão positiva pode ter primeiros termos iguais a zero, resultando em soma zero ou indefinida.
Questão 7:
Os termos são 3, 12, 48, 192, 768. A soma é:
( S_5 = a_1 cdot frac{r^n – 1}{r – 1} ), onde ( r = 4 ):
( S_5 = 3 cdot frac{4^5 – 1}{4 – 1} = 3 cdot frac{1024 – 1}{3} = 3 cdot frac{1023}{3} = 1023 ).
Questão 8: ( S_{infty} = frac{a_1}{1 – r} ); a fórmula é ( S_{infty} = frac{a_1}{1 – r} ).
Questão 9: A) 28 – A soma é dada por ( S_n = frac{n}{2} (a_1 + a_n) ). Com ( n = 7 ), ( a_1 = 1 ) e ( a_7 = 13 ):
( S_7 = frac{7}{2} (1 + 13) = 7 cdot 7 = 28 ).
Questão 10: Resposta dissertativa – A PA envolve soma de termos que têm diferença constante e é útil em finanças (ex: parcelas). A PG envolve multiplicação e pode ser usada em juros compostos, crescimento populacional, entre outros.
—
Espero que esta prova sirva de base para avaliar adequadamente o conhecimento dos alunos sobre o tema ‘soma dos termos de uma progressão geométrica e aritmética’.
