“Prova de Matemática: Logaritmo e Potência para o 3º Ano”

Tema: logaritmo, produto ,definição,potencia,
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 6

Prova de Matemática – 3º Ano do Ensino Médio

Tema: Logaritmo, Produto, Definição e Potência

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Instruções:

Responda as questões a seguir de forma dissertativa, apresentando argumentos claros e coerentes. Utilize exemplos quando necessário para apoiar suas respostas. A prova possui 6 questões que avaliam diferentes níveis de compreensão e aplicação dos conceitos abordados.

Questões:

Questão 1: Definição de Logaritmo

Defina logaritmo e explique sua relação com as operações de potenciação. Utilizando a relação entre estas duas operações, demonstre como você chegaria ao logaritmo na base 2 do número 8. Aplique a definição que você apresentou.

Questão 2: Propriedade dos Logaritmos

Explique a propriedade do logaritmo que trata do produto de dois números. Em seguida, resolva a expressão abaixo utilizando essa propriedade:

log₁₀(100) + log₁₀(50)

Qual é o resultado e qual a interpretação desse valor no contexto logarítmico?

Questão 3: Aplicação Prática

Em uma situação prática, um investidor deseja calcular o tempo necessário para que um capital inicial triplique em um investimento que oferece uma taxa de juros de 10% ao ano. Utilize a definição de logaritmo para encontrar o tempo necessário (em anos) apresentando todos os passos do seu raciocínio.

Questão 4: Equação Logarítmica

Resolva a equação logarítmica a seguir:

log₂(x) + log₂(x – 3) = 3

Mostre todos os passos que você utilizou para chegar à solução dessa equação.

Questão 5: Propriedades das Potências

Liste e explique as principais propriedades das potências. Em seguida, aplique essas propriedades para simplificar a seguinte expressão:

(2³ * 2²) / (2⁴)

Qual é o resultado final e como você justifica cada passo da simplificação?

Questão 6: Conversão de Bases

Explique como converter logaritmos de uma base para outra. Utilize a propriedade de mudança de base para converter o logaritmo abaixo:

log₅(125) para a base 10. Apresente todos os passos do processo e discuta o resultado obtido.

Gabarito

Questão 1:

O logaritmo é a função inversa da potenciação. Sua definição indica que, se b^y = x, então log_b(x) = y. Para calcular log₂(8), sabemos que 2³ = 8, logo, log₂(8) = 3.

Questão 2:

A propriedade do logaritmo para produtos afirma que log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). Portanto, log₁₀(100) + log₁₀(50) = log₁₀(100 * 50) = log₁₀(5000) = 3,7 (aproximadamente). Isso significa que 10 elevado a 3,7 é aproximadamente 5000.

Questão 3:

Usando a fórmula do montante, M = C * (1 + i)^t, onde M = 3C, e i = 0,1. Assim, 3C = C * (1 + 0,1)^t. Dividindo por C e aplicando logaritmos: log(3) = t * log(1,1) resulta em t = log(3) / log(1,1). O resultado em anos é aproximadamente 11,5 anos.

Questão 4:

Usando a propriedade logarítmica, log₂(x(x-3)) = 3 implica que x(x-3) = 2³ = 8. Resolvendo a equação quadrática x² – 3x – 8 = 0, aplicando a fórmula de Bhaskara, chegará a duas soluções: x = 4 e x = -2 (não válida por não satisfazer a definição do logaritmo).

Questão 5:

As propriedades são: 1) a * b = a^m+n, 2) a / b = a^m-n, 3) (a^m)ⁿ = a^mn. Aplicando: (2³ * 2²) / 2⁴ = 2⁽³⁺²⁾ / 2⁴ = 2^5-4 = 2¹ = 2.

Questão 6:

A mudança de base é feita por log_a(b) = log_c(b) / log_c(a). Portanto, log₅(125) = log₁₀(125) / log₁₀(5). Sabemos que 125 = 5³, logo, log₅(125) = 3.

Essas respostas abordam conceitos fundamentais de logaritmos e potências, oferecendo a base para uma melhor compreensão e aplicação em diversas situações matemáticas cotidianas.