Prova de Matemática: Desvendando Logaritmos no 3º Ano
Tema: logaritmo
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 6
Prova de Matemática: Logaritmos
Instruções: Responda as questões a seguir de forma clara e objetiva. Justifique suas respostas sempre que necessário, e utilize exemplos sempre que possível. A prova é composta por 6 questões dissertativas.
Questão 1: Definição e Propriedades
Defina o que é um logaritmo. Em sua resposta, inclua a relação entre logaritmos e potências, além de apresentar duas propriedades fundamentais dos logaritmos.
Questão 2: Cálculo de Logaritmos
Calcule o valor de ( log_{2} 32 ) e justifique seu raciocínio. Explique também o que esse valor representa em termos de potências.
Questão 3: Aplicações Práticas
Um laboratório utiliza culturas que se multiplicam a uma taxa exponencial. Se a população de bactérias dobra a cada 3 horas, qual será a população após 9 horas, utilizando logaritmos para justificar seu cálculo.
Questão 4: Equações Logarítmicas
Resolva a equação ( log_{5} (x + 4) = 2 ). Apresente todos os passos necessários para chegar à solução e explique como a propriedade da base dos logaritmos foi aplicada.
Questão 5: Gráficos de Funções Logarítmicas
Descreva como é o gráfico da função ( f(x) = log_{10} x ). Discorra sobre suas principais características, como domínio, imagem e assíntota.
Questão 6: Comparação de Logaritmos
Compare os logaritmos das seguintes expressões: ( log_{2} 16 ) e ( log_{2} 8 + log_{2} 2 ). Justifique a relação entre os dois resultados, utilizando as propriedades dos logaritmos.
Gabarito
Questão 1
Resposta: O logaritmo de um número é o expoente ao qual uma base deve ser elevada para resultar nesse número. Por exemplo, se ( b^y = x ), então ( log_{b} x = y ). Entre as propriedades, destacamos:
1. ( log_{b}(xy) = log_{b} x + log_{b} y ) (produto).
2. ( log_{b}left(frac{x}{y}right) = log_{b} x – log_{b} y ) (quociente).
Questão 2
Resposta: ( log_{2} 32 = 5 ). Isso significa que ( 2^5 = 32 ). Para calcular, buscamos a potência de base 2 que resulta em 32.
Questão 3
Resposta: Depois de 9 horas, a população dobra três vezes (em 3, 6 e 9 horas). Portanto, se a população inicial é ( P ), após 9 horas será ( P times 2^3 = 8P ). Podemos usar logaritmos para entender a relação de crescimento exponencial, como ( log_{2} P + 3 ).
Questão 4
Resposta: Para resolver ( log_{5} (x + 4) = 2 ), elevamos 5 ao quadrado: ( x + 4 = 25 ). Portanto, ( x = 21 ). Utilizou-se a propriedade que relaciona logaritmo e potência.
Questão 5
Resposta: O gráfico da função ( f(x) = log_{10} x ) é crescente, tem domínio ( (0, +infty) ) e a imagem é ( (-infty, +infty) ). A assíntota vertical está em ( x = 0 ).
Questão 6
Resposta: ( log_{2} 16 = 4 ) e ( log_{2} 8 + log_{2} 2 = 3 + 1 = 4 ). Assim, os resultados são iguais, evidenciando a propriedade ( log_{b} (xy) ).
—
Essa prova pretende avaliar tanto a teoria quanto a aplicação prática do conhecimento sobre logaritmos, respeitando o nível exigido para o 3º ano do Ensino Médio.
