Desvendando Sistemas Lineares e Equações do 2º Grau: Prova do 3º Ano
Tema: incompleta 2º grau, Problemas com equações completas do 2º grau,Sistemas lineares do 1º grau: duas equações e duas incógnitas,Resolução de sistema linear: método da adição,- Sistemas lineares de três equações a três incógnitas,Método do escalonamento – Parte 1 (versão2) Arquivo Clique aqui para visualizar o documento.PDF ID: 141220 – 1º Bimestre Aula 19 – Método do escalonamento – Parte 2 Arquivo Clique aqui para visualizar o documento.PDF Tarefa SP Aula com tarefa ID: 141215 – 1º Bimestre Aula 21 – Classificação de sistemas lineares – Parte 1 Arquivo Clique aqui para visualizar o documento.PDF ID: 141212 – 1º Bimestre Aula 22 – Classificação de sistemas lineares – Parte 2
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática e suas Tecnologias
Questões: 10
Prova de Matemática e suas Tecnologias – 3º Ano do Ensino Médio
1º Bimestre
Instruções:
Leia atentamente cada questão e responda-a de forma clara. Utilize a folha disponível ao final da prova para suas respostas. A prova é composta por 10 questões dissertativas que abordam os temas solicitados.
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Questões
Questão 1 – Incompletas de 2º Grau (2,0 pontos)
Um projetista deseja criar uma parábola para um projeto de jardinagem. A equação que modela a altura da água em um reservatório é dada por (y = ax^2 + bx + c). Sabendo que a equação é incompleta e que a constante (c) é igual a 0. Discuta as implicações dessa informação, considerando o que acontece com o gráfico se (b > 0) e (b < 0).
Questão 2 – Equações completas do 2º grau (2,0 pontos)
Um estudante resolve a equação quadrática (x^2 – 5x + 6 = 0) usando a fórmula de Bhaskara. Calcule as raízes e interprete o resultado em um contexto de maximização, por exemplo, a área de um terreno retangular onde (x) representa um dos lados.
Questão 3 – Sistemas lineares do 1º grau (2,0 pontos)
No mercado, a relação de preço entre maçãs e laranjas é dada pelas seguintes equações:
[
begin{align*}
2x + 3y &= 12 \
x + 4y &= 10
end{align*}
]
Onde (x) representa o preço da maçã e (y) o preço da laranja. Resolva o sistema e discorra sobre a viabilidade desse preço em um cenário real.
Questão 4 – Método da adição (2,5 pontos)
Uma empresa deseja saber quantas horas seus dois funcionários trabalham por dia. As horas trabalhadas por José e Maria podem ser representadas pelas seguintes equações:
– (3J + 2M = 24)
– (2J + 4M = 32)
Use o método da adição para resolver o sistema, e faça uma análise da solução encontrada em termos de eficiência horária.
Questão 5 – Sistemas lineares de três equações (3,0 pontos)
Um vendedor tem um estoque de três produtos: A, B e C. O estoque total é de 100 unidades, e as relações são dadas por:
[
begin{align*}
x + y + z &= 100 \
2x + y + 2z &= 150 \
3x + 2y + z &= 200
end{align*}
]
Determine a quantidade de cada produto em estoque usando o método do escalonamento e avalie o impacto do equilíbrio da quantidade no lucro total.
Questão 6 – Método do escalonamento – Parte 1 (2,5 pontos)
Utilizando o método de escalonamento, resolva o sistema de equações abaixo:
[
begin{align*}
x + 2y &= 4 \
3x – y &= 5 \
2y + z &= 8
end{align*}
]
Explique os passos tomados e a importância de cada um no processo.
Questão 7 – Classificação de sistemas lineares (2,0 pontos)
Classifique o sistema de equações abaixo quanto ao número de soluções (compatível, impossível, indeterminado):
[
begin{align*}
2x – 3y &= 6 \
4x – 6y &= 12 \
3x + 5y &= 15
end{align*}
]
Justifique sua resposta utilizando definições e propriedades de sistemas lineares.
Questão 8 – Problemas contextualizados (2,0 pontos)
Um engenheiro diz que a resistência de um material pode ser modelada pela equação do segundo grau (R(x) = -x^2 + 6x – 8). Calcule o valor de (x) que maximiza a resistência e descreva a importância disso em prática.
Questão 9 – Aplicação prática de sistemas lineares (2,0 pontos)
Um pesquisador analisa a relação entre temperatura e umidade em uma escola. Ele observa que, em determinados dias, a temperatura e a umidade estão diretamente relacionadas pela equação:
[
begin{align*}
T + 3U &= 60 \
2T – U &= 20
end{align*}
]
Resolvendo o sistema, discorra sobre qual seria a melhor configuração para conforto térmico em sala de aula.
Questão 10 – Relação entre gráfico e solução de sistemas (2,5 pontos)
Discorra sobre a relação entre as soluções de um sistema de equações lineares e o seu gráfico no plano cartesiano. Use como exemplo o seguinte sistema:
[
begin{align*}
x + y &= 5 \
2x – y &= 1
end{align*}
]
Explique como a interseção das retas indica a solução do sistema.
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Gabarito
Questão 1: Resposta esperada: Explicação sobre a ausência de um termo constante implica que o gráfico passa pela origem e discuta variações de (b).
Questão 2: As raízes são (x = 2) e (x = 3). Essa solução pode ser usada na interpretação de áreas para um projeto específico.
Questão 3: A solução do sistema é (x = 2) e (y = 2). O preço pode ser considerado justo para o mercado.
Questão 4: A solução é (J = 4) e (M = 6). A análise pode discutir a melhor distribuição do trabalho entre os funcionários.
Questão 5: As quantidades podem ser (A = 30), (B = 50), (C = 20). A análise deve incluir as implicações financeiras com a venda desses produtos.
Questão 6: O aluno deve mostrar corretamente como escalonou e converteu as equações, justificando a importância da solução.
Questão 7: O sistema é indeterminado. Justificativas devem incluir a relação entre as equações.
Questão 8: O valor de (x) que maximiza (R) é (3). Isso indica a melhor resistência do material a ser usado.
Questão 9: A solução do sistema oferece um entendimento crucial sobre as condições ambientais. O vetor deve contemplar soluções reais.
Questão 10: Interseções devem ser corretamente identificadas, e o aluno deve explicar o relacionamento com soluções de sistemas.
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Esta avaliação deve proporcionar um exame abrangente do entendimento dos alunos sobre os tópicos abordados, com uma diversidade de situações que incentivem tanto a resolução técnica quanto a aplicação prática da matemática.
