Prova de Matemática: Logaritmos para o 2º Ano do Ensino Médio

Tema: logaritmos
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática e suas Tecnologias
Questões: 1

Prova de Matemática: Logaritmos – 2º Ano do Ensino Médio

Esta prova consiste em questões dissertativas que abordam o tema logaritmos, suas definições, propriedades e aplicações. As questões foram elaboradas para estimular a compreensão, o raciocínio crítico e a aplicação dos conceitos. Leia atentamente cada questão e responda de maneira clara e objetiva.

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Questões

1. (Dissertativa – 10 pontos)

Considere a expressão logarítmica log₂(x) + log₂(x – 3) = 3. Responda aos itens a seguir:

1. Explique, utilizando as propriedades dos logaritmos, como você pode reescrever essa equação em termos de potências e quais são os valores possíveis de x.
2. Resolva a equação encontrada na parte anterior e determine todos os valores de x que satisfazem a condição dada. Justifique suas respostas.

Gabarito

1. Resposta Dissertativa

Na primeira parte da resposta, o aluno deve explicar a propriedade dos logaritmos que diz que log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c). Portanto, a expressão log₂(x) + log₂(x – 3) pode ser reescrita como:

log₂(x(x – 3)) = 3

Agora, aplicando a definição de logaritmo, sabemos que se log₂(y) = 3, então y = 2³ = 8. Assim, podemos escrever:

x(x – 3) = 8

Na sequência, devemos resolver a equação do segundo grau:

x² – 3x – 8 = 0

Utilizando a fórmula de Bhaskara:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

onde a = 1, b = -3, c = -8:

x = (3 ± √((-3)² – 4 * 1 * (-8))) / (2 * 1)

x = (3 ± √(9 + 32)) / 2

x = (3 ± √41) / 2

Assim, temos dois valores possíveis para x:

x₁ = (3 + √41) / 2 e x₂ = (3 – √41) / 2.

Entretanto, devemos considerar que x – 3 deve ser maior que 0 para que log₂(x – 3) seja definido, ou seja, x > 3. Analisando os valores obtidos, apenas x₁ = (3 + √41) / 2 satisfaz essa condição. O valor x₂ será um número negativo, portanto, não é uma solução válida.

X = (3 + √41) / 2 é a única solução válida para a equação dada. Os alunos devem justificar um raciocínio claro e preciso, demonstrando a aplicação das propriedades dos logaritmos e resolução da equação proposta.

Conceitos abordados: Propriedades dos logaritmos, equações logarítmicas, regra de sinais, equação do segundo grau e interpretação de condições de validade.

Esta prova tem o objetivo de avaliar a compreensão dos alunos sobre logaritmos e suas propriedades, estimulando um raciocínio crítico. Boa sorte!