“Princípio Fundamental da Contagem: Prova para 3º Ano”
Tema: principio fundamental da contagem
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática e suas Tecnologias
Questões: 1
Prova de Matemática – 3º Ano do Ensino Médio
Tema: Princípio Fundamental da Contagem
Instruções: Leia atentamente as questões e responda de forma clara e objetiva. A prova visa avaliar sua compreensão sobre o princípio fundamental da contagem. Utilize o espaço indicado para justificar suas respostas e mostrar seus cálculos quando necessário.
—
Questão Dissertativa
1. Diogo está organizando um campeonato de xadrez em sua escola e precisa formar duplas para a competição. Se ele tem 8 alunos interessados (A, B, C, D, E, F, G, H), responda a isso:
– a) Quantas duplas de alunos ele pode formar?
– b) Suponha que Diogo queira escolher um capitão e um vice-capitão entre os alunos que formam cada dupla. Totalize quantas possíveis escolhas de capitão e vice-capitão podem ser feitas a partir das duplas. Justifique suas respostas apresentando o raciocínio usando o princípio fundamental da contagem.
—
Gabarito e Justificativa
1. Resposta:
– a) Para determinar o número de duplas que podem ser formadas com 8 alunos, utilizamos o conceito de combinações, já que a ordem não importa. O número de combinações de 8 elementos tomados 2 a 2 é dado por:
\[
C(n, p) = frac{n!}{p!(n-p)!}
\]
Onde ( n ) é o total de elementos (8) e ( p ) é o número de escolhas (2).
\[
C(8, 2) = frac{8!}{2!(8-2)!} = frac{8 times 7}{2 times 1} = 28
\]
Assim, Diogo pode formar 28 duplas.
– b) Para cada dupla formada, Diogo precisa escolher um capitão e um vice-capitão. Como a ordem importa agora, utilizamos o princípio fundamental da contagem: para cada dupla há 2 possibilidades de escolha. Portanto, se ( D ) representa uma dupla, temos:
\[
text{Escolhas de capitão e vice-capitão} = 2 text{ (um para cada)}
\]
Assim, o total de escolhas é dado pelo número de duplas multiplicado pelo número de arranjos de capitão e vice-capitão:
\[
28 text{ duplas} times 2 text{ (capitão e vice)} = 56 text{ escolhas possíveis}
\]
Portanto, o número total de escolhas de capitão e vice-capitão a partir das duplas é 56.
Justificativa Geral: O princípio fundamental da contagem estabelece que se um evento pode ocorrer de ( m ) maneiras e um segundo evento pode ocorrer de ( n ) maneiras, o número total de maneiras de realizar ambos os eventos é ( m times n ). No contexto da questão, esse princípio foi aplicado no cálculo das duplas e nas respectivas escolhas de capitão e vice, evidenciando sua importância na resolução de problemas que envolvem contagem combinatória.
—
Utilize a estrutura da prova e o gabarito para conduzir suas atividades em sala de aula, sempre buscando engajar os alunos na compreensão dos princípios matemáticos que regem a contagem.
