“Prova de Matemática: Sistemas Lineares e Inequações no Ensino Médio”
Tema: Sistemas Lineares e Inequações
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 2
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Prova de Matemática – 3º Ano do Ensino Médio
Tema: Sistemas Lineares e Inequações
Instruções: Leia atentamente as questões a seguir e responda de forma clara e objetiva. Justifique suas respostas de maneira consistente.
Questão 1 – Dissertativa
Em um estudo sobre a relação entre a produção de dois produtos, A e B, uma empresa constatou que cada unidade do produto A gera um lucro de R$ 30, enquanto cada unidade do produto B gera um lucro de R$ 40. A empresa pode produzir no máximo 50 unidades no total de ambos os produtos e não pode ultrapassar a produção de 30 unidades do produto B.
1.1) Elabore um sistema de inequações que represente essa situação.
1.2) Determine as combinações possíveis de produção dos produtos A e B que Maximizem o lucro da empresa. Faça uma análise crítica dos resultados obtidos, indicando a importância de representar situações do cotidiano com sistemas de inequações.
Questão 2 – Dissertativa
Um estudante está analisando o seguinte sistema linear, que representa a quantidade de produtos A e B que ele poderá comprar com uma certa quantia de dinheiro:
- Produto A custando R$ 10,00
- Produto B custando R$ 15,00
2.1) Escreva um sistema de equações que represente a situação em que o estudante possui R$ 120,00 disponíveis para gastar.
2.2) Resolva o sistema encontrado e discorra sobre as implicações da solução no contexto do uso de sistemas lineares na tomada de decisões financeiras.
Gabarito
Questão 1
1.1) Sistema de Inequações:
Seja x a quantidade do produto A e y a quantidade do produto B. As inequações que representam a situação são:
- x + y ≤ 50 (máximo de produção total)
- y ≤ 30 (máximo de produção do produto B)
- x ≥ 0 e y ≥ 0 (não pode produzir quantidades negativas)
1.2) Análise Crítica:
Para Maximizar o lucro, a empresa deve considerar os pontos de interseção das inequações e avaliar o lucro nos vértices do polígono formado. A solução ótima ocorre no ponto (20,30), gerando um lucro total de:
Lucro = 30(20) + 40(30) = 600 + 1200 = R$ 1800.
A representação de situações do cotidiano em sistemas de inequações é fundamental para tomada de decisões estratégicas, permitindo que os gestores maximizem lucros ou minimizem custos com base em restrições reais do mercado.
Questão 2
2.1) Sistema de Equações:
Seja x a quantidade de produtos A e y a quantidade de produtos B. O sistema é:
- 10x + 15y = 120 (equação de restrição de gasto)
2.2) Resolução do Sistema:
Através da equação, podemos deduzir diferentes combinações de produtos A e B. Por exemplo, se o estudante compra 6 produtos A (60,00) e 4 produtos B (60,00), ele gastou R$ 120,00.
$x = 6, y = 4 implies 10(6) + 15(4) = 120$.
A solução do sistema destaca a importância dos sistemas lineares na gestão financeira, pois permite que o estudante planeje suas compras de acordo com o orçamento, evitando gastos excessivos e tomando decisões conscientes na hora de adquirir produtos.
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Estrutura da Prova
– Tema e Dificuldade: As questões abordam tanto a elaboração de sistemas quanto a análise crítica de soluções, promovendo um entendimento mais profundo sobre o uso de sistemas lineares e inequações em problemas práticos.
– Objetivo: Estimular não apenas o conhecimento matemático, mas também a aplicabilidade dessas técnicas no cotidiano fazendo com que os alunos reflitam sobre decisões baseadas em matemática.
### Gabarito Detalhado
– Questão 1: Resposatas corretas demonstram a capacidade do aluno em formular inequações e fazer aplicações práticas, refletindo sobre a representatividade de problemas reais.
– Questão 2: A resolução contextualiza a matemática em um cenário financeiro relevante, promovendo a capacidade de planejamento e uso consciente dos recursos.
