“Prova de Matemática: Desafios de Progressões e Trigonometria”
Tema: progressão aritmética, progressão geométrica, teorema de Pitágoras, ângulos notáveis, potenciação e radiciação identidades trigonométricas, ,
Etapa/Série: 1º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática – 1º Ano do Ensino Médio
Tema: Progressão Aritmética, Progressão Geométrica, Teorema de Pitágoras, Ângulos Notáveis, Potenciação e Radiciação, Identidades Trigonométricas
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Instruções: Leia atentamente as questões a seguir e marque a alternativa correta. Cada questão vale 1 ponto.
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Questão 1
Uma sequência é formada pelos números: 3, 7, 11, 15, … Qual é a soma dos cinco primeiros termos dessa progressão aritmética?
a) 35
b) 40
c) 45
d) 50
Questão 2
Um investidor aplica R$ 1.000,00 em um fundo que rende 5% ao mês, em uma progressão geométrica. Qual será o valor acumulado após 4 meses?
a) R$ 1.215,51
b) R$ 1.215,80
c) R$ 1.250,00
d) R$ 1.300,00
Questão 3
Utilizando o Teorema de Pitágoras, determine a hipotenusa de um triângulo retângulo em que um cateto mede 6 cm e o outro cateto mede 8 cm.
a) 10 cm
b) 12 cm
c) 14 cm
d) 16 cm
Questão 4
Qual dos ângulos a seguir é um ângulo notável e corresponde ao valor exato de ( sin(45^circ) )?
a) ( frac{sqrt{2}}{2} )
b) ( frac{sqrt{3}}{2} )
c) ( 1 )
d) ( 0 )
Questão 5
Qual é o resultado da potenciação ( 3^4 )?
a) 81
b) 27
c) 36
d) 64
Questão 6
Calcule a raiz quadrada de 144.
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
Questão 7
Em um triângulo retângulo, se um dos ângulos é de 30°, qual o valor de ( cos(30°) )?
a) ( frac{sqrt{2}}{2} )
b) ( frac{1}{2} )
c) ( frac{sqrt{3}}{2} )
d) ( 0 )
Questão 8
Um artista desenha uma escada que forma um ângulo de 60° com o solo. Se a escada tem 5 metros de comprimento, qual é a altura que a escada atinge (usando a identidade ( h = L cdot sin(θ) ))?
a) 2,5 m
b) 4,33 m
c) 5 m
d) 3,0 m
Questão 9
Considere a progressão geométrica onde o primeiro termo é 2 e a razão é 3. Qual é o quarto termo dessa sequência?
a) 18
b) 54
c) 162
d) 486
Questão 10
Qual das equações a seguir representa a identidade trigonométrica fundamental?
a) ( sin^2(x) + cos^2(x) = 1 )
b) ( 1 + tan^2(x) = sec^2(x) )
c) ( sin(x) = frac{text{oposto}}{text{hipotenusa}} )
d) Todas as anteriores
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Gabarito
1. b) 40
Justificativa: A soma dos cinco termos de uma PA pode ser calculada como ( S_n = frac{n}{2} (a_1 + a_n) ). Aqui, ( a_1 = 3, a_5 = 15, n = 5 ). Portanto, ( S_5 = frac{5}{2} (3 + 15) = frac{5}{2} cdot 18 = 45 ).
2. a) R$ 1.215,51
Justificativa: A fórmula para PG é ( a_n = a_1 cdot r^{(n-1)} ). Assim, ( a_4 = 1000 cdot (1 + 0.05)^4 = 1000 cdot 1.21550625 = 1.215,51 ).
3. a) 10 cm
Justificativa: Aplicando o Teorema de Pitágoras: ( c^2 = a^2 + b^2 ) onde ( a = 6 ) e ( b = 8 ). Logo, ( c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 ), assim ( c = 10 ).
4. a) ( frac{sqrt{2}}{2} )
Justificativa: ( sin(45°) = frac{sqrt{2}}{2} ).
5. a) 81
Justificativa: ( 3^4 = 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3 = 81 ).
6. b) 12
Justificativa: ( sqrt{144} = 12 ).
7. c) ( frac{sqrt{3}}{2} )
Justificativa: É conhecido que ( cos(30°) = frac{sqrt{3}}{2} ).
8. b) 4,33 m
Justificativa: Usando a fórmula, ( h = L cdot sin(60°) = 5 cdot frac{sqrt{3}}{2} = frac{5sqrt{3}}{2} approx 4.33 m ).
9. b) 54
Justificativa: O quarto termo de uma PG é ( a_n = a_1 cdot r^{(n-1)} ) onde ( a_1 = 2 ) e ( r = 3 ): ( a_4 = 2 cdot 3^3 = 2 cdot 27 = 54 ).
10. d) Todas as anteriores
Justificativa: Todas as opções apresentadas são identidades trigonométricas válidas que se derivam da identidade fundamental ( sin^2(x) + cos^2(x) = 1 ).
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