Desvendando o Princípio Fundamental da Contagem no 9º Ano
Tema: principio fundamental da contagem
Etapa/Série: 9º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 20
Prova de Matemática – 9º Ano
Tema: Princípio Fundamental da Contagem
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Instruções: Responda todas as questões a seguir, utilizando caneta azul ou preta. Justifique suas respostas sempre que solicitado. Cada questão vale 5 pontos.
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Questões Dissertativas
1. (5 pontos) Defina o Princípio Fundamental da Contagem e explique sua importância na resolução de problemas de contagem.
2. (5 pontos) Um estudante tem 4 tipos diferentes de canetas e 3 tipos diferentes de cadernos. Quantas combinações de caneta e caderno ele pode escolher? Justifique sua resposta.
3. (5 pontos) Em uma pesquisa, foram selecionados 3 frutas entre 5 opções disponíveis (maçã, banana, laranja, abacaxi e uva). Quantas combinações diferentes de frutas podem ser feitas? Explique como você chegou ao resultado.
4. (5 pontos) Uma equipe de 5 jogadores pode ser formada a partir de 10 candidatos. Utilize o princípio fundamental da contagem para explicar quantas equipes diferentes podem ser formadas e a importância desse princípio na combinação de itens.
5. (5 pontos) Um professor deseja criar um código formado por 2 letras seguidas de 3 números. Se as letras podem ser escolhidas entre A, B e C e os números entre 0 e 9, quantos códigos diferentes podem ser feitos?
6. (5 pontos) Considerando que uma pessoa pode escolher 2 roupas de 3 camisetas, 2 calças e 2 pares de sapatos, quantas combinações de vestuário ela pode criar? Justifique seu raciocínio.
7. (5 pontos) Um lanche é composto por 1 bebida (refrigerante ou suco) e 2 tipos de sanduíches (frango ou carne). Calcule quantas opções diferentes de lanche é possível montar.
8. (5 pontos) Se, em uma prova com 4 temas, um aluno deve escolher 2 temas para desenvolver, quantas diferentes combinações de desenvolvimentos ele pode fazer? Explique sua abordagem.
9. (5 pontos) Imagine que você está organizando um torneio com 8 times. Se cada time jogar contra todos os outros uma vez, quantos jogos serão realizados? Justifique com uma explicação analítica.
10. (5 pontos) Um estudante tem 5 matérias para estudar e deve escolher 3 para fazer um trabalho. De quantas formas diferentes ele pode escolher as matérias? Descreva o raciocínio utilizado para a solução.
11. (5 pontos) Quando um dado é lançado 3 vezes, quantos resultados diferentes podem ocorrer? Justifique sua resposta utilizando o princípio fundamental da contagem.
12. (5 pontos) Uma loja vende 6 modelos diferentes de sapatos e 4 cores diferentes para cada modelo. Quantas combinações de modelo e cor de sapato o cliente pode escolher?
13. (5 pontos) Uma senha é formada por 2 letras (escolhidas entre A, B, C e D) seguidas de 2 dígitos (escolhidos entre 0 e 9). Quantas senhas diferentes podem ser formadas? Justifique seu raciocínio.
14. (5 pontos) Em um evento, 3 tipos de aperitivos e 4 tipos de bebidas estão disponíveis. Se uma pessoa quer escolher 1 aperitivo e 1 bebida, quantas combinações ela poderá fazer? Explique sua resposta.
15. (5 pontos) Um grupo de amigos está decidindo entre 5 filmes para assistir e têm 3 opções de lanches. De quantas maneiras eles podem fazer suas escolhas?
16. (5 pontos) Enunciado: Uma máquina de vendas oferece 4 tipos de chocolates e 3 tipos de bebidas. Se um cliente pode escolher um chocolate e uma bebida, quantas opções ele tem? Demonstre seu raciocínio.
17. (5 pontos) Uma equipe de 4 professores será escolhida de um total de 12. Quantas combinações diferentes de equipes são possíveis? Explique como você utilizou o princípio fundamental da contagem na solução.
18. (5 pontos) Durante um campeonato games, um jogo pode ser jogado em 3 níveis de dificuldade e cada nível tem 2 modos de jogo. Quantas combinações de dificuldade e modo são possíveis?
19. (5 pontos) Uma aula possui 6 alunos e o professor quer montar grupos de 2 alunos para uma atividade. Qual é a quantidade de grupos que podem ser formados? Justifique sua resposta.
20. (5 pontos) Um restaurante oferece 5 tipos de aperitivos, 3 pratos principais e 4 sobremesas. Se um cliente pode escolher um de cada, quantas opções de refeição ele tem? Justifique a sua resposta.
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Gabarito Detalhado
1. Resposta: O Princípio Fundamental da Contagem afirma que se um evento A pode ocorrer de m maneiras e um evento B pode ocorrer de n maneiras, então o número total de maneiras que A e B podem ocorrer juntos é m*n. Sua importância reside na formulação de soluções para problemas que envolvem contagem de combinações e arranjos.
2. Resposta: O estudante pode escolher de forma: 4 canetas × 3 cadernos = 12 combinações.
3. Resposta: Usando o princípio da escolha, temos 5 opções e precisamos escolher 3, o que é uma combinação: C(5,3) = 10 combinações.
4. Resposta: C(10,5) = 252 equipes diferentes. O PFC é usado aqui ao contar combinações de elementos a partir de grupos maiores.
5. Resposta: 3 letras x 10^3 números = 3 x 1000 = 3000 códigos possíveis.
6. Resposta: 3 camisetas x 2 calças x 2 sapatos = 12 combinações.
7. Resposta: 2 bebidas x 2 sanduíches = 4 opções de lanche.
8. Resposta: C(4,2) = 6 combinações de temas.
9. Resposta: C(8,2) = 28 jogos, pois cada time joga com todos os outros.
10. Resposta: C(5,3) = 10 combinações de matérias.
11. Resposta: 6 resultados diferentes (1 por face do dado) x 6 x 6 = 216 resultados.
12. Resposta: 6 modelos x 4 cores = 24 combinações de sapatos.
13. Resposta: 4^2 x 10^2 = 1600 senhas diferentes.
14. Resposta: 3 aperitivos x 4 bebidas = 12 combinações.
15. Resposta: 5 filmes x 3 lanches = 15 maneiras.
16. Resposta: 4 chocolates x 3 bebidas = 12 opções.
17. Resposta: C(12,4) = 495 combinações de professores.
18. Resposta: 3 níveis x 2 modos = 6 combinações.
19. Resposta: C(6,2) = 15 grupos.
20. Resposta: 5 aperitivos x 3 pratos x 4 sobremesas = 60 opções de refeição.
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Justificativas: As respostas foram organizadas seguindo a lógica do Princípio Fundamental da Contagem, demonstrando como ele pode ser aplicado em diversas situações práticas de escolha e combinação. Cada pergunta foi estruturada para incentivar o entendimento, aplicação e análise crítica do conteúdo estudado.
