“Prova de Matemática: Conjuntos, Funções e Progressões Aritméticas”
Tema: Conjuntos, Função do 1º e do 2º grau, Equações Exponenciais e Progressão Aritmética
Etapa/Série: 1º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática – 1º Ano do Ensino Médio
Tema: Conjuntos, Função do 1º e do 2º grau, Equações Exponenciais e Progressão Aritmética
Instruções: Responda todas as questões de forma clara e objetiva. Utilize os recursos de cálculo que achar necessário e justifique suas respostas de acordo com os conceitos aprendidos.
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Questões:
1. (Conjuntos) A professora de matemática pediu que sua turma formasse diferentes conjuntos a partir dos números: 1, 2, 3, 4, 5.
a) Formule o conjunto dos números pares que podem ser extraídos desse grupo.
b) Identifique e explique a diferença entre os conjuntos {2, 4} e {4, 2}.
2. (Função do 1º grau) Considere a função ( f(x) = 3x + 1 ).
a) Calcule ( f(2) ) e ( f(-1) ).
b) Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear da função.
3. (Função do 2º grau) A função ( g(x) = x^2 – 4x + 3 ) representa uma parábola.
a) Identifique as raízes da função, utilizando a fórmula de Bhaskara.
b) Explique o que significa graficamente cada raiz que você encontrou.
4. (Equações Exponenciais) Uma população de bactérias cresce de acordo com a equação ( P(t) = P_0 cdot 2^t ), onde ( P_0 ) é a população inicial e ( t ) é o tempo em horas.
a) Se ( P_0 = 100 ), qual será a população após 3 horas?
b) Discuta a implicação do crescimento exponencial em situações do cotidiano.
5. (Progressão Aritmética) Um aluno está economizando dinheiro e já tem R$ 100, economizando R$ 20 a mais do que no mês anterior.
a) Escreva a expressão para a quantidade total de dinheiro que ele terá após ( n ) meses.
b) Qual será o total após 5 meses? Justifique seus cálculos.
6. (Conjuntos) Sejam ( A = {1, 2, 3, 4, 5} ) e ( B = {4, 5, 6, 7, 8} ).
a) Calcule a união ( A cup B ) e a interseção ( A cap B ).
b) Defina o que são conjuntos disjuntos e avalie se ( A ) e ( B ) são disjuntos.
7. (Função do 1º grau) Usando a função ( h(x) = -2x + 6 ):
a) Determine o ponto onde essa função cruza o eixo ( y ).
b) Qual é a interpretação desse ponto no contexto de uma função linear?
8. (Equações Exponenciais) A equação ( 5^{x} = 125 ) é uma equação exponencial. Resolva para ( x ) e explique o método utilizado.
9. (Função do 2º grau) A parábola dada pela função ( f(x) = -x^2 + 6x – 5 ) tem suas raízes em ( x = 1 ) e ( x = 5 ).
a) Qual é o vértice da parábola?
b) Explique como esse vértice se relaciona com a concavidade da parábola.
10. (Progressão Aritmética) Se uma progressão aritmética possui o primeiro termo ( a_1 = 10 ) e a razão ( r = 5 ):
a) Determine o décimo termo da progressão.
b) Analise como o aumento da razão impacta na sequência dos termos dessa PA.
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Gabarito
1. a) {2, 4}
b) Os conjuntos {2, 4} e {4, 2} são iguais, pois a ordem dos elementos em um conjunto não altera sua identidade; a diferença é que {4, 2} é apenas uma permutação do primeiro.
2. a) ( f(2) = 3(2) + 1 = 7 ); ( f(-1) = 3(-1) + 1 = -2 ).
b) O coeficiente angular é 3 e o coeficiente linear é 1, representando a inclinação e o ponto de interseção no eixo ( y ), respectivamente.
3. a) As raízes são ( x = 1 ) e ( x = 3 ) (usando Bhaskara).
b) Cada raiz representa um ponto onde a parábola intersecta o eixo do ( x ).
4. a) ( P(3) = 100 cdot 2^3 = 800 ) bactérias.
b) O crescimento exponencial gera um aumento acelerado na população, o que pode ser observado em diversas áreas, como finanças e biologia.
5. a) Após ( n ) meses, total = ( 100 + 20n ).
b) Após 5 meses, ele tem ( 100 + 20(5) = 200 ) reais.
6. a) ( A cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ) e ( A cap B = {4, 5} ).
b) Conjuntos disjuntos são aqueles que não possuem elementos em comum; como ( A cap B ) não é vazio, os conjuntos não são disjuntos.
7. a) A função cruza o eixo ( y ) em ( (0,6) ).
b) O cruzamento no eixo ( y ) indica o valor da função quando ( x = 0 ).
8. ( 5^{x} = 125 ) => ( 5^{x} = 5^3 ) => ( x = 3 ). O método utilizado é a propriedade das potências com bases iguais.
9. a) O vértice é em ( x = 3 ); cálculo do vértice ( x = -frac{b}{2a} ).
b) O vértice em ( x = 3 ) reflete que é o máximo da função, dado que a parábola é côncava para baixo.
10. a) O décimo termo é ( a_{10} = 10 + 9 cdot 5 = 55 ).
b) Aumento da razão causa um crescimento mais rápido nos valores da sequência.
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Considerações Finais
As questões foram elaboradas visando propiciar uma visão abrangente sobre o tema, incentivando a análise e a aplicação prática dos conceitos de Matemática. Utilizando a BNCC como referência, buscou-se promover o raciocínio lógico e a resolução de problemas. O gabarito fornece um entendimento detalhado, facilitando a autoavaliação do estudante.
