Prova de Matemática: Funções de Várias Variáveis Descomplicadas

Tema: Funções de várias variáveis, gráficos, curvas de níveis, limites de várias variáveis, derivadas parciais, derivadas parciais de 2ª ordem.
Etapa/Série: 2º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 8

Prova de Matemática – Funções de Várias Variáveis

Instruções:

• Leia cada questão atentamente.
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• Escolha a alternativa correta e marque-a.
• Cada questão vale 1 ponto.

Questões:

1. Qual é a definição de uma função de várias variáveis?

   a) É uma relação entre um conjunto de números e outro conjunto.

   b) É uma relação que associa a cada par de números um único número.

   c) É uma relação que associa a cada número inteiro um par de números racionais.

   d) É uma relação que associa números a formas geométricas.

2. Se f(x, y) = x² + y², qual é o valor de f(2, 3)?

   a) 7

   b) 13

   c) 25

   d) 17

3. Qual dos seguintes gráficos representa uma curva de nível da função f(x, y) = x + y?

   a) Uma parábola

   b) Linhas retas paralelas

   c) Um círculo

   d) Uma hipérbole

4. Considerando a função f(x, y) = 3xy, qual é a derivada parcial de f em relação a x?

   a) 3y

   b) 3x

   c) 3

   d) xy

5. Para a função f(x, y) = x²y + 4xy², a derivada parcial de segunda ordem em relação a x é:

   a) 2y

   b) 4y

   c) 4x

   d) 2xy

6. O limite de f(x, y) = x² + y² quando (x, y) se aproxima de (0, 0) é:

   a) 0

   b) 1

   c) Infinito

   d) Não existe

7. Qual afirmação é verdadeira sobre as derivadas parciais?

   a) Derivadas parciais indicam como a função varia com relação a uma única variável.

   b) Derivadas parciais são sempre iguais às derivadas totais.

   c) Derivadas parciais são aplicáveis apenas a funções de uma única variável.

   d) Derivadas parciais podem ser calculadas apenas em pontos isolados.

8. Qual é a interpretação geométrica da derivada parcial de uma função de duas variáveis?

   a) Inclinação da função em relação ao eixo x ou y no plano.

   b) Área sob a curva.

   c) Volume sob a superfície.

   d) Comprimento da curva de nível.

Gabarito e Justificativas:

1. b) É uma relação que associa a cada par de números um único número.

   Justificativa: Funções de várias variáveis, como f: ℝ² → ℝ, associam pares (x, y) a um único valor.

2. b) 13

   Justificativa: f(2, 3) = 2² + 3² = 4 + 9 = 13.

3. b) Linhas retas paralelas

   Justificativa: A curva de nível de f(x, y) = x + y é uma linha reta, representando uma constante CX + CY = C.

4. a) 3y

   Justificativa: A derivada parcial em relação a x, ∂f/∂x = 3y, mantendo y constante.

5. b) 4y

   Justificativa: A segunda derivada parcial de f em relação a x é ∂²f/∂x² = 4y.

6. a) 0

   Justificativa: O limite de f(x, y) = x² + y² quando (x, y) se aproxima de (0, 0) é igual a 0.

7. a) Derivadas parciais indicam como a função varia com relação a uma única variável.

   Justificativa: As derivadas parciais medem como a função se altera variando uma variável, mantendo as outras constantes.

8. a) Inclinação da função em relação ao eixo x ou y no plano.

   Justificativa: A derivada parcial fornece a inclinação de f nas direções x ou y, representando a taxa de variação.