“Prova de Matemática: Desvendando Equações Irracionais no 9º Ano”
Tema: EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Etapa/Série: 9º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 5
Prova de Matemática – 9º Ano
Tema: Equações Irracionais
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Instruções: Leia atentamente cada questão e responda de forma completa. Justifique suas respostas e utilize exemplos, sempre que necessário. A prova contém 5 questões dissertativas, com pesos variados.
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Questão 1
Compreensão de Conceitos (Peso 2)
Você está estudando equações irracionais e se depara com a equação ( sqrt{x + 2} = 5 ). Faça a resolução desta equação e apresente cada passo do processo, explicando o que está fazendo em cada etapa.
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Questão 2
Aplicação de Conhecimentos (Peso 3)
Considere a equação ( sqrt{2x – 3} + 1 = 4 ). Resolva essa equação e determine o valor original de ( x ). Além disso, discuta se a solução encontrada é válida, justificando sua resposta.
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Questão 3
Análise Crítica (Peso 4)
Uma determinada equação irracional é expressa como ( sqrt{3x + 1} – sqrt{x – 2} = 0 ). Resolva-a e analise todas as soluções encontradas, identificando possíveis restrições e justificando sua validade.
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Questão 4
Contextualização e Aplicação Prática (Peso 3)
Um arquiteto precisa calcular a área de um terreno quadrado que possui um lado cuja medida é dada pela equação ( sqrt{x + 5} = 3 ). Resolva a equação para determinar o comprimento do lado do terreno e, em seguida, calcule a área do terreno. Justifique suas respostas.
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Questão 5
Reflexão Pessoal (Peso 2)
Após estudar equações irracionais, escreva um texto breve sobre a importância dessas equações na matemática e em situações do dia a dia. Inclua exemplos de situações em que você poderia aplicar o conhecimento de equações irracionais.
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Gabarito
Questão 1
Resposta:
Para resolver a equação ( sqrt{x + 2} = 5 ), devemos fazer o seguinte:
1. Elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
( (sqrt{x + 2})^2 = 5^2 )
( x + 2 = 25 ).
2. Isolar ( x ):
( x = 25 – 2 )
( x = 23 ).
Justificativa: Ao elevar ao quadrado, garantimos a eliminação da raiz, facilitando a resolução. O valor encontrado será textbf{23}.
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Questão 2
Resposta:
A equação ( sqrt{2x – 3} + 1 = 4 ) é resolvida assim:
1. Isolar a raiz:
( sqrt{2x – 3} = 4 – 1 )
( sqrt{2x – 3} = 3 ).
2. Elevar ao quadrado:
( 2x – 3 = 9 ).
3. Isolar ( x ):
( 2x = 9 + 3 )
( 2x = 12 )
( x = 6 ).
Verificando a solução:
( sqrt{2*6 – 3} + 1 = sqrt{12 – 3} + 1 = sqrt{9} + 1 = 3 + 1 = 4 ), portanto, a solução é válida. O valor de ( x ) é textbf{6}.
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Questão 3
Resposta:
Para resolver ( sqrt{3x + 1} – sqrt{x – 2} = 0 ):
1. Isolar uma das raízes:
( sqrt{3x + 1} = sqrt{x – 2} ).
2. Elevar ao quadrado:
( 3x + 1 = x – 2 ).
3. Resolver a equação:
( 3x – x = -2 – 1 )
( 2x = -3 )
( x = -frac{3}{2} ).
Verifique a validade:
Para ( x = -frac{3}{2} ), o radical ( sqrt{x – 2} ) não está definido, então não é solução válida. Portanto, essa equação não possui solução. A solução é textbf{nenhuma}.
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Questão 4
Resposta:
Para a equação ( sqrt{x + 5} = 3 ):
1. Elevar ao quadrado:
( x + 5 = 9 ).
2. Isolar ( x ):
( x = 9 – 5 )
( x = 4 ).
Área do terreno:
Área = lado² = ( 4^2 = 16 ).
Justificativa: Resolvi a equação e calculei a área do terreno ao quadrado, cuja medida do lado foi válida. O lado do terreno é textbf{4} e a área é textbf{16}.
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Questão 5
Resposta:
As equações irracionais são fundamentais em diversas áreas da matemática, incluindo a resolução de problemas físicos e financeiros. Por exemplo, ao calcular distâncias e áreas, como na questão do arquiteto. Esse conhecimento permite que resolvamos questões do cotidiano, como encontrar a altura de um edifício usando a teoria de medidas. Portanto, compreender e aplicar equações irracionais é essencial no desenvolvimento matemático e resolução de problemas reais.
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Essa estrutura garante uma avaliação integral e coerente sobre o tema, cobrindo desde a resolução prática até a reflexão sobre a origem e aplicação dos conceitos estudados.
