“Prova de Matemática: Progressões Aritmética e Geométrica – 20 Questões”
Tema: Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
Etapa/Série: 2º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 20
Prova de Matemática – 2º Ano do Ensino Médio
Tema: Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
Duração: 2 horas
Total de Questões: 20
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Questões
1. (Múltipla escolha)
Uma progressão aritmética (PA) é definida por sua razão. Se em uma PA a1 = 5 e a razão r = 3, qual é o valor do 5º termo (a5)?
a) 17
b) 20
c) 23
d) 26
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2. (V/F)
Em uma progressão geométrica (PG), o quinto termo pode ser encontrado multiplicando-se o quarto termo pela razão. ( )
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3. (Dissertativa)
Defina uma progressão aritmética e forneça um exemplo, explicando como determinar o enésimo termo.
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4. (Completar)
A fórmula para o n-ésimo termo de uma progressão geométrica é dada por a_n = a_1 * q^{n-1}. Sendo a_1 = 2 e q = 3, o 4º termo (a4) é ______.
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5. (Múltipla escolha)
Qual dos seguintes conjuntos de números forma uma PA?
a) 2, 4, 8, 16
b) 3, 7, 11, 15
c) 1, 1, 1, 1
d) 5, 10, 15, 20, 35
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6. (V/F)
Na progressão aritmética, a soma de dois termos quaisquer é sempre igual a um múltiplo da razão. ( )
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7. (Dissertativa)
Explique como a razão de uma progressão geométrica afeta o crescimento dos termos dessa PG.
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8. (Múltipla escolha)
Se a razão de uma PA é negativa, como isso afeta a sequência dos seus termos?
a) Os termos serão todos positivos
b) Os termos serão um aumento constante
c) Os termos alternarão entre positivos e negativos
d) Não haverá modificação significativa
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9. (Completar)
A soma dos n primeiros termos de uma PA é calculada pela fórmula S_n = (n/2) * (a_1 + a_n). Se a_1 = 4 e a_5 = 24, a soma dos 5 primeiros termos (S_5) é ______.
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10. (Múltipla escolha)
Qual é a razão (q) da PG cujos termos são: 2, 6, 18, 54?
a) 2
b) 3
c) 6
d) 9
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11. (V/F)
Em uma PA, se a razão for zero, todos os termos serão iguais. ( )
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12. (Dissertativa)
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PA com a1 = 7 e r = 6.
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13. (Múltipla escolha)
Qual das seguintes sequências é uma progressão aritmética?
a) 5, 10, 15, 20
b) 1, 2, 4, 8
c) 3, 1, -1, -3
d) 1, 3, 9, 27
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14. (Completar)
Para calcular o último termo de uma PG, utilizamos a fórmula a_n = a_1 * q^{n-1}. Se a1 = 1 e q = 2, o 10º termo (a10) é ______.
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15. (Dissertativa)
Compare o crescimento de uma PA e uma PG, usando exemplos numéricos para demonstrar a diferença.
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16. (V/F)
Se em uma PG, a razão (q) for menor que 1, a sequência tende a diminuir. ( )
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17. (Múltipla escolha)
Qual é a soma dos 8 primeiros termos da PG com a1 = 1 e q = 2?
a) 255
b) 127
c) 63
d) 31
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18. (Completar)
A soma S_n dos n primeiros termos da PG é dada por S_n = a_1 * (1 – q^n) / (1 – q), para q ≠ 1. A soma dos 5 primeiros termos da PG com a1 = 3 e q = 4 é ______.
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19. (Múltipla escolha)
Qual é o termo de ordem n na sequência de uma PA cujos primeiros termos são: 8, 11, 14, 17?
a) 3n + 5
b) 8 + (n-1) * 3
c) 2n + 6
d) 5n + 3
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20. (Dissertativa)
Um tesoureiro mencionou que o valor de um determinado investimento cresce de forma geométrica. O que isso significa na prática? Dê exemplos.
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Gabarito
1. c) 23
Justificativa: a5 = a1 + 4r = 5 + 4*3 = 5 + 12 = 17.
2. (V)
Justificativa: O quarto termo multiplicado pela razão resulta no quinto termo em PG.
3.
Definição: PA é uma sequência numérica onde a diferença entre termos consecutivos é constante. Exemplo: 1, 3, 5, 7. Para determinar o enésimo termo usamos a fórmula: a_n = a1 + (n-1)r, com r sendo a diferença comum.
4.
a4 = 2 * 3^3 = 2 * 27 = 54.
5. b) 3, 7, 11, 15
Justificativa: A diferença entre os termos é constante.
6. (F)
Justificativa: Não é verdade que a soma de dois termos de PA resulta em um múltiplo da razão.
7.
A razão q determina a taxa de aumento ou diminuição dos termos numa PG. Por exemplo, q = 2 multiplica cada termo por 2, enquanto q = 0.5 diminui.
8. c) Os termos alternarão entre positivos e negativos
Justificativa: A razão negativa faz os termos mudarem de sinal.
9.
S5 = (5/2) * (4 + 24) = (5/2) * 28 = 70.
10. b) 3
Justificativa: 6 ÷ 2 = 3.
11. (V)
Justificativa: Zero como razão resulta em termos iguais.
12.
S10 = (10/2)(7 + 7 + 9*6) = (5)(7 + 37) = 220.
13. a) 5, 10, 15, 20
Justificativa: A diferença entre os termos é 5.
14.
a10 = 1 * 2^9 = 512.
15.
Em PA, os termos crescem de forma linear, enquanto em PG crescem exponencialmente. Ex: 1, 2, 3, … (PA) versus 1, 2, 4, 8, … (PG) — os valores de PG crescem mais rapidamente.
16. (V)
Justificativa: Razão menor que 1 faz os termos se aproximarem de zero.
17. a) 255
Justificativa: S8 = 1*(1-2^8)/(1-2) = 511.
18.
S5 = 3*(1 – 4^5)/(1 – 4) = 3*(1 – 1024)/-3 = 1023.
19. b) 8 + (n-1) * 3
Justificativa: a1=8 e r=3, segue a fórmula da PA.
20.
Significa que o valor do investimento cresce multiplicativamente. Ex: Se começou com R$1.000, e cresce a uma taxa de 5% ao mês, o próximo mês seria R$1.050, e assim por diante.
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Essas questões visam abranger as principais características das progressões aritméticas e geométricas, desde conceitos básicos até aplicações práticas e raciocínio crítico, alinhando-se às diretrizes da BNCC para o Ensino Médio.
